Shih burimin për Dukuria e Runge


[[Skeda:Runge_phenomenon.svg|djathtas|parapamje| Funksioni Runge (me të kuqe, maja më e lartë qendrore); polinomi interpolues i rendit të 5-të me pika interpoluese të barabarta (blu, maja qendrore më e ulët); dhe polinomi interpolues i rendit të 9-të me pika interpoluese të barabarta (e gjelbër, maja qendrore mesatare). Lëkundjet në kufijtë e intervalit rriten me rritjen e rendit polinomial.]]
Në fushën e [[Analiza numerike|analizës numerike]], '''dukuria e Runge''' ( German: [ˈʁʊŋə] ) është një problem i lëkundjes në skajet e një intervali që ndodh kur përdoret [[Interpolimi polinomial|interpolimi]] polinomial me polinome të shkallëve të larta mbi një grup pikash interpolimi të baraslarguara. Ajo u zbulua nga Carl David Tolmé Runge (1901) kur hetoi sjelljen e gabimeve kur përdorej interpolim polinomial për të përafruar funksione të caktuara. <ref>{{Citation |last=Runge |first=Carl |title=Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten |work=Zeitschrift für Mathematik und Physik |volume=46 |pages=224–243 |year=1901 |postscript=. |author-link=Carl David Tolmé Runge}} available at [[iarchive:zeitschriftfrma12runggoog|www.archive.org]]</ref> Zbulimi ishte i rëndësishëm sepse tregon se shkuarja në shkallë më të larta nuk përmirëson gjithmonë saktësinë. Fenomeni është i ngjashëm me [[Fenomeni Gibbs|fenomenin Gibbs]] në përafrimet e serive Fourier.

== Paraqitja ==
Teorema e përafrimit të Weierstrassit thotë se për çdo funksion të vazhdueshëm <math>f(x)</math> të përcaktuar në një segment <math>[a,b]</math>, ekziston një grup funksionesh [[Polinomet|polinomiale]] <math>P_n(x)</math> për ''n'' =0, 1, 2, &#x2026;, secili prej shkallës të shumtën ''n'', që i përafrohet <math>f(x)</math> me konvergjencë uniforme mbi [ ''a'', ''b'' ] kur ''n'' tenton për në pafundësi, d.m.th.

: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sup_{a \leq x \leq b} \left| f(x) -P_n(x)\right| \right) = 0.</math>

Konsideroni rastin kur interpolohet përmes ''n'' +1 pikave të barabarta të një funksioni ''f'' ( ''x'' ) duke përdorur polinomin ''n'' -shkallë ''P'' <sub>''n''</sub> ( ''x'' ) që kalon nëpër ato pika. Natyrisht, mund të pritet nga teorema e Weierstrass se përdorimi i më shumë pikave do të çonte në një rindërtim më të saktë të ''f'' ( ''x'' ). Megjithatë, ky grup i ''veçantë'' i funksioneve polinomiale ''P'' <sub>''n''</sub> ( ''x'' ) nuk është i garantuar të ketë vetinë e konvergjencës uniforme; teorema thotë vetëm se ekziston një grup funksionesh polinomiale, pa ofruar një metodë të përgjithshme për të gjetur një të tillë .

<math>P_n(x)</math> e prodhuar në këtë mënyrë në fakt mund të largohet nga <math>f(x)</math>ndërsa ''n'' rritet; kjo zakonisht ndodh në një model oscilues që zmadhohet pranë skajeve të pikave të interpolimit. Zbulimi i kësaj dukurie ndodhi nga Runge. <ref>{{Cite journal |last=Epperson, James |year=1987 |title=On the Runge example |url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/on-the-runge-example |journal=Amer. Math. Monthly |volume=94 |pages=329–341 |doi=10.2307/2323093 |access-date=27 dhjetor 2022 |archive-date=25 shtator 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200925161340/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/on-the-runge-example |url-status=dead }}</ref>

== Problem ==
Marrim në shqyrtim '''funksionin Runge'''

: <math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}\,</math>

(një version i shkallëzuar i Shtrigës së Agnesit ). Runge zbuloi se nëse ky funksion interpolohet në pikat e baraslarguara ''x''<sub>''i''</sub> ndërmjet &#x2212; 1 dhe 1 në mënyrë të tillë që:

: <math>x_i = \frac{2i}{n} - 1,\quad i \in \left\{ 0, 1, \dots, n \right\}</math>

me një [[Polinomet|polinom]] <math>P_n(x)</math> të shkallës &#x2264;&nbsp;''n'', interpolimi që rezulton lëkundet drejt fundit të intervalit, pra afër &#x2212; 1 dhe 1. Madje mund të vërtetohet se gabimi i interpolimit rritet (pa kufi) kur rritet shkalla e polinomit:

: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sup_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) -P_n(x)| \right) = \infty.</math>

Kjo tregon se interpolimi polinomial i shkallës së lartë në pika të baraslarguara mund të jetë i mundimshëm.

=== Arsyeja ===
Fenomeni i Runge është pasojë e dy vetive të këtij problemi.

* Magnituda e derivateve të rendit ''n'' të këtij funksioni të veçantë rritet shpejt kur rritet ''n'' .
* Baraslargësia ndërmjet pikave çon në një konstante Lebegu që rritet shpejt kur rritet ''n'' .

Dukuria është grafikisht e dukshme sepse të dyja vetitë kombinohen për të rritur magnitudën e lëkundjeve.

Gabimi ndërmjet funksionit gjenerues dhe polinomit interpolues të rendit ''n'' jepet nga

: <math>f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} \prod_{i=0}^{n} (x - x_i) </math>

== Metoda zbutëse ==

=== Ndryshimi i pikave të interpolimit ===
Lëkundjet mund të minimizohen duke përdorur nyjet që shpërndahen më dendur drejt skajeve të intervalit, konkretisht, me dendësi asimptotike (në segmentin [ -1, 1 ] ) të dhënë nga formula <ref>{{Citation |last=Berrut |first=Jean-Paul |title=Barycentric Lagrange interpolation |work=SIAM Review |volume=46 |issue=3 |pages=501–517 |year=2004 |citeseerx=10.1.1.15.5097 |doi=10.1137/S0036144502417715 |issn=1095-7200 |last2=Trefethen |first2=Lloyd N. |author-link2=Lloyd N. Trefethen}}</ref> <math>1 / \sqrt{1-x^2}</math> . Një shembull standard i një grupi të tillë nyjesh janë nyjet e Çebishevit, për të cilat gabimi maksimal në përafrimin e funksionit Runge garantohet të zvogëlohet me rritjen e rendit polinom.

=== Përdorimi i polinomeve pjesë-pjesë ===
Problemi mund të shmanget duke përdorur kurba spline të cilat janë polinome pjesë-pjesë. Kur përpiqet të zvogëlohet gabimi i interpolimit, mund të rritet numri i pjesëve polinomale që përdoren për të ndërtuar spline në vend të rritjes së shkallës së polinomeve të përdorura.

=== Nxënia e katrorëve më të vegjël ===
Një metodë tjetër është nxënia e një polinomi të shkallës më të ulët duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël. Në përgjithësi, kur përdoren <math>m</math> pika të baraslarguara, nëse <math>N < 2\sqrt{m}</math> atëherë përafrimi i katrorëve më të vegjël <math>P_N(x)</math> është i mirëkushtëzuar. <ref>{{Citation |last=Dahlquist |first=Germund |title=Numerical Methods |url=https://archive.org/details/numericalmethods00dahl/page/101 |pages=[https://archive.org/details/numericalmethods00dahl/page/101 101–103] |year=1974 |chapter=4.3.4. Equidistant Interpolation and the Runge Phenomenon |isbn=0-13-627315-7 |last2=Björk |first2=Åke |author-link=Germund Dahlquist}}</ref>

=== polinomi i Bernshtajnit ===
Duke përdorur [[polinomi i Bernshtajnit|polinomet e Bernshtajnit]], mund të përafrohet në mënyrë të njëtrajtshme çdo funksion i vazhdueshëm në një interval të mbyllur, megjithëse kjo metodë është mjaft e kushtueshme nga ana llogaritëse.{{Citim i duhur|date=December 2019}}

== Referime ==
<references />
[[Kategoria:Analiza numerike]]