Shih burimin për Formula e Leibniz-it për π

Në [[Matematika|matematikë]], '''formula e Leibniz për [[Numri pi|π]]''', e emërtuar sipas [[Gotfrid Lajbnici|Gotfrid Vilhelm Lajbnicit]], thotë se<math display="block">1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\pi}{4},</math>një seri e alternuar . Nganjëherë quhet seria '''Madhava–Leibniz''' sepse u zbulua për herë të parë nga matematikani indian Madhava i Sangamagramas ose pasuesit e tij në shekullin XIV-XV (shih serinë Madhava ), <ref>{{Citation |last=Plofker |first=Kim |title=''Tantrasaṅgraha of Nīlakaṇṭha Somayājī'' by K. Ramasubramanian and M. S. Sriram |date=nëntor 2012 |work=[[The Mathematical Intelligencer]] |volume=35 |issue=1 |pages=86–88 |doi=10.1007/s00283-012-9344-6 |author-link=Kim Plofker}}</ref> dhe më vonë u rizbulua në mënyrë të pavarur nga James Gregory në 1671 dhe Lajbnici në vitin 1673. <ref>{{Cite journal |last=Roy |first=Ranjan |year=1990 |title=The Discovery of the Series Formula for {{mvar|π}} by Leibniz, Gregory and Nilakantha |url=https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |journal=Mathematics Magazine |volume=63 |pages=291–306 |doi=10.1080/0025570X.1990.11977541 |access-date=19 korrik 2023 |archive-date=14 mars 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230314224252/https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |url-status=dead }}</ref> Seria e Tejlorit për funksionin e tangjentës së anasjelltë, e quajtur shpesh ''seria e Gregorit'', është:

: <math>\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots </math>

Formula e Lajbnicit është rasti i veçantë <math display="inline">\arctan 1 = \tfrac14\pi.</math> <ref>{{Citation |last=Andrews |first=George E. |title=Special Functions |page=58 |year=1999 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-78988-5 |last2=Askey |first2=Richard |last3=Roy |first3=Ranjan}}</ref>

== Konvergjenca ==
Formula e Lajbnicit konvergjon jashtëzakonisht ngadalë: ajo shfaq konvergjencë nënlineare . Llogaritja e π në 10 numra dhjetorë të saktë duke përdorur mbledhjen e termave të serisë kërkon saktësisht pesë miliardë terma. Për të marrë 4 shifra dhjetore, duhen përdorur 5000 terma të serisë

Megjithatë, formula e Lajbnicit mund të përdoret për të llogaritur π me saktësi të lartë (qindra shifra ose më shumë) duke përdorur teknika të ndryshme të përshpejtimit të konvergjencës . Për shembull, transformimi Shanks, transformimi i Eulerit ose transformimi Van Wijngaarden, të cilat janë metoda të përgjithshme për seritë e alternuara, mund të zbatohen në mënyrë efektive për shumat e pjesshme të serisë Lajbnic. Më tej, kombinimi i termave në çift jep serinë jo-alternuese<math display="block">\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(4n+1)(4n+3)}</math>të cilat mund të vlerësohen me saktësi të lartë nga një numër i vogël termash duke përdorur ekstrapolimin e Richardson ose formulën Euler-Maclaurin.