Shih burimin për Hapësira e Hilbertit

[[Image:Harmonic partials on strings.svg|thumb|Hapësira e Hilbertit mund të përdoret për të studiuar lëvizjen harmonike të kordës vibruese.]]

Në [[matematika|matematikë]] koncepti i  '''hapësirës së Hilbertit''', përgjithëson nocionin e [[hapësira Euklidiane|hapësirës Euklidiane]]. Ky nocion zgjeron metodat e algjebrës vektoriale nga plani dy dimensional dhe hapësira tredimensionale në hapësirat me numër të pafundëm të dimensioneve.

Në mënyrë më formale, hapësira e Hilbertit është një [[hapësirë e produktit të brendshëm]] në një [[hapësirë vektoriale]] abstrakte në të cilën distancat dhe këndet mund të maten. Pra kjo është një "[[hapësira metrike e plotë|hapësirë komplete]]", që nënkupton se nëqoftëse një varg vektorësh është i tipit [[Vargjet Koshi|Koshi]], atëherë ai konvergjon d.m.th. ka [[Limiti i vargut|limit]] brenda asaj hapësire.

Hapësirat e Hilbertit shfaqen shpesh në mënyrë te natyrshme në [[Matematika|matematikë]], [[fizika|fizikë]], dhe në [[inxhinieria|inxhinieri]]. Zakonisht kjo është si [[hapësira funksionale]] me dimensione të pafundme. Këto cilësohen si mjete të pazëvendësueshme në teorinë e [[ekuacioneve diferenciale pjesore]], [[Formulimi matematik i mekanikes kuantike|mekanikes kuantike]], dhe [[proçesimit të sinjaleve]]. Njohja e një strukture të përbashkët algjebrike midis këtyre fushave të ndryshme dha një kuptim me të gjerë të konceptuar. Suksesi i metodave të hapësirës së Hilbertit çoi ne periudhën e arte të [[analiza funksionale|analizës funksionale]].

Intuita gjeometrike luan një rol shumë te rëndësishëm në shumë aspekte të teorisë se hapësirave të Hilbertit. Një element i hapësirës së Hilbertit mund të veçohet në mënyrë unike nga koordinatat në lidhje me një  [[baze ortonormale|vektor bazë]], në ngjashshmëri me koordinatat karteziane në një plan. Kur kjo bazë është  e numërueshme, kjo do të thotë se hapësira e Hilbertit mund të shprehet me terma të [[vargjet e pafundme|vargjeve të pafundme]] e që janë [[hapësira Lp|hapësira të Lebegut]]. [[Operatorët linearë]] në një hapësirë të Hilbertit janë gjithashtu objekte konkrete. Në raste të favorshme, ato janë thjesht transformime që zgjerojnë hapësirën me faktorë të ndryshëm.

== Hyrje  dhe historia ==
[[Image:Hilbert.jpg|thumb|right|[[David Hilberti]], matematikani puna themelore e të cilit në studimin e [[ekuacioneve integrale]] dhe [[formave kuadratike]] çoi tek koncepti i hapësirave të Hilbertit.]]

[[Hapësira Euklidiane]] e zakonshme shërben si një model për nocionin e hapësirës se Hilbertit. Në hapësirën Euklidiane, të dhëne në '''R'''<sup>3</sup>, [[distanca]] në mes pikave dhe [[këndi]] në mes vektorëve mund të shprehen nëpërmjet [[produktit të brendshëm]],  një [[pasqyrim bilinear|veprim]] mbi një çift vektorësh vlerat e të cilëve janë [[numra reale]].  Probleme nga [[gjeometria analitike]], si përcaktimi nëqoftesë dy drejtëza janë [[ortogonaliteti|pingule]] ose gjetja e një pike në një plan të dhëne e cila është me afër origjinës, mund te shprehen dhe të zgjidhen duke përdorur prodhimin e brendshëm vektorial.<ref>Shikoni një tekst të [[analizës]] me shumë variabla, si {{harvtxt|Stewart|2006|loc=Chapter 9}}.</ref>  Një tipar tjetër i rëndësishëm i '''R'''<sup>3</sup> është që ajo posedon strukturë të mjaftueshme për të ruajtur metodat e [[analizës]], për shkak të ekzistencës së [[limiti (matematika)|limiteve]].  Hapësirat e Hilbertit janë përgjithshme te '''R'''<sup>3</sup> të cilat përmbajnë një operator analog me prodhimin vektorial në hapësirën Euklidiane (kjo zakonisht quhet prodhimi i brendshëm) te cilat janë “komplete" në sensin që limitet që duhen për zbatimin e analizës ekzistojnë.

Para zhvillimit të hapësirave të Hilbertit, përgjithësime të tjera të '''R'''<sup>3</sup> ishin te njohura nga matematikanët dhe fizikanet.  Në veçanti, ideja e [[hapësira lineare|hapësirave abstrakte lineare]] kishte marrë hov nga fundi i shekullit XIX :{{Fact|date=July 2008}} kjo është një hapësire elementet e së cilës mund të mblidhen dhe të shumëzohen me skalare (si [[numri real|numrat real]] ose [[numri kompleks|komplekse]]) pa i identifikuar këto elemente me [[vektori (gjeometri)|vektorë "gjeometrike"]], si vektorët e pozicionit dhe momentit në sisteme fizike.  Objekte të tjera të studiuara nga matematikanët në fillim të shekullit XX, në veçanti hapësirat e [[Vargu(matematike)|vargjeve]] (duke përfshire [[seria (matematike)|seritë]]) dhe hapësirat e funksioneve,<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987}}</ref> të cilat mund të kuptohen si hapësira lineare.  Funksionet, për shembull, mund të mblidhen ose të shumëzohen me skalarë, veprime këto që i binden ligjeve algjebrike të mbledhjes dhe shumëzimit të vektorëve hapësinorë.

Në dekadën e parë të shekullit XX, zhvillime paralele sollën deri të paraqitja e hapësirave të Hilbertit.  E parë nga ky vëzhgim, gjate studimit të [[ekuacioneve integrale]] nga [[David Hilberti]] dhe [[Erhard Schmidt]],<ref>{{harvnb|Schmidt|1907}}.</ref> se dy funksione reale të vazhdueshme  ''f'' dhe  ''g'' në një interval [''a'',''b''] që janë të integrueshëm kanë një  ''produkt të brendshëm'' :

:<math>\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx</math>

i cili ka shumë nga vetitë familjare të prodhimit vektorial Euklidian.  Në veçanti ideja e familjeve të funksioneve [[ortogonaliteti|ortogonale]] ka një kuptim të caktuar.  Shmidt përdori ngjashmërinë midis produktit të brendshëm me produktin vektorial Euklidian për të provuar analogun e [[dekompozimit spektral]] për një operator të formës

:<math>f(x) \mapsto \int_a^b K(x,y) f(y)\, dy</math>

ku ''K'' është një funksion i vazhdueshëm simetrik në lidhje me ''x'' dhe ''y''.  [[Zgjerimi ajgenfunksonal]] që rrjedh nga kjo e shpreh funksionin ''K'' si një seri të formës

:<math>K(x,y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)\,</math>

ku funksionet ''φ''<sub>''n''</sub> janë pingule në sensing që {{nowrap|〈''φ''<sub>''n''</sub>,''φ''<sub>''m''</sub>〉 {{=}} 0}} for all {{nowrap|''n'' ≠ ''m''}}.  Megjithatë, ekzistojnë zgjerime ajgenfunksionale të cilat nuk  konvergjojnë në kuptimin e zakonshëm te një funksion që është i integrueshëm në katror : Ajo që mungon këtu është vetia e kompletimit e cila siguron konvergjencën.<ref>{{harvnb|TitchMarsh|1946|loc=§IX.1}}</ref>

Zhvillimi i dyte që [[integrali i Lebesgut]], një alternative e [[Integrali i Rimanit|integralit të Rimanit]] e paraqitur nga [[Henri Lebesgue]] në 1904.<ref>{{harvnb|Lebesgue|1904}}.  Detaje tjera mbi teorinë e integrimit mund të gjenden tek {{harvtxt|Bourbaki|1987}} dhe {{harvtxt|Saks|2005}}.</ref>  Integrali i Lebesgut beri të mundur integrimin e funksioneve që nuk janë të vazhdueshme.  Ne 1907, [[Frigyes Riesz]] dhe [[Ernst Sigismund Fischer]] provuan në mënyre të pavarur se hapësira  L<sup>2</sup>  e funksionit të integrueshëm në katror Lebesgian është një [[hapësire metrike komplete]].<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987}}.</ref>  Rrjedhoje e kësaj që bashkëkoordinimi midis gjeometrisë dhe vetisë së kompletimit, rezultati i shekullit të 19te i [[Jozef Fourier]], [[Friedrich Bessel]] dhe [[Marc-Antoine Parseval]] mbi [[seritë trigonometrike]] mund të pershatet qartë në hapësira me të përgjithshme, që rezultojnë në një aparat gjeometriko-analitik të njohur si [[teorema Riesz-Fischer ]].<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}}</ref>

Rezultate te tjera themelore u provuan ne fillim te shekullit XX.  Për shembull, [[teorema e reprezentimit e Riesz]] u arrit në mënyre të pavarur nga [[Maurice Fréchet]] dhe [[Frigyes Riesz]] në 1907.<ref>Në {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}}, rezultati që çdo funksional linear në L<sup>2</sup>[0,1] i atribuohet {{harvtxt|Fréchet|1907}} dhe {{harvtxt|Riesz|1907}}.  Rezultati i përgjithshëm, që hapësira duale e Hilbertit identifikohet me vete hapësirën e Hilbertit, mund të gjendet tek {{harvtxt|Riesz|1934}}.</ref> [[John von Neumann]] vuri  termin ''hapësira abstrakte e Hilbertit'' në veprën e tij të famshme mbi [[Operatori i vete-adjointuar|operatoret Hermitian]].<ref>{{Harvnb|von Neumann|1929}}.</ref> Von Neumann që një nga matematikanët e vetëm në ato kohe që vuri në dukje rëndësinë e rezultatit si rrjedhoje e punës së tij thelbësore në themelimet e e mekanikës kuantike,<ref>{{Harvnb|Hilbert|Nordheim|von Neumann|1927}}.</ref> gjate punës së tij me [[Eugene Wigner]].  Emri "Hilbert space" u adaptua nga të tjerët, për shembull nga Hermann Weyl në librin e tij mbi mekanikën kuantike dhe teorinë e grupeve.<ref name="Weyl31">{{Harvnb|Weyl|1931}}.</ref>

Rëndësia e konceptit të hapësirave të Hilbertit u nënvizua nga realizmi që ajo ofron një nga [[Formulimi matematik i mekanikës kuantike|formulimet më të mira të mekanikës kuantike]].<ref>{{harvnb|Prugovečki|1981|pp=1–10}}.</ref>  shkurt, gjendjet e një sistemi janë vektorë në një hapësire të caktuar Hilbertiane, të observueshmet janë [[operatore hermitiane]] në atë hapësire, [[simetria|simetritë]] e sistemit janë [[operatore unitare]], dhe [[matjet kuantike|matjet]] janë [[projeksione ortogonale]].  Lidhja midis simetrive mekaniko-kuantike dhe operatoreve unitare dhanë një impetus direkt për zhvillimin e [[teorisë së reprezentimit]] [[reprezentimit unitar|unitar]] të [[teoria e grupeve (matematikë)|grupeve]], të filluar më 1928 me punën e Hermann Weyl.<ref name="Weyl31" />  Nga ana tjetër, në fillim të viteve 1930 u be e çart se disa veti klasike të [[sistemeve dinamike]] mund të analizohen duke përdorur teknika të hapësirës së Hilbertit në kontekstin e [[teorisë ergodike]].<ref>{{harvnb|von Neumann|1932}}</ref>

== Zbatime ==
[[Image:HAtomOrbitals.png|right|thumb| [[Orbitalet atomike|Orbitalet]] e një [[elektroni]] në një [[atom hidrogjeni]] janë [[ajgenfunksione]] të [[energjia (fizikë)|energjisë]].  Energjia jepet nga [[Ekuacioni i Shrodingerit|operatori i Shrodingerit]] (me pavarësi ohore) i cili vepron në një nënhapësire të dendur te hapësirës Hilbertaine të funksioneve të integrueshëm-katror në '''R'''<sup>3</sup>, ku spektri i saj përcakton nivelet e mundshme të energjisë.]]

Shumë nga aplikimet e hapësirës se Hilbertit shfrytëzojnë faktin se hapësirat e Hilbertit suportojnë përgjithësime të koncepteve të thjeshta gjeometrike si [[Operatori projektues|projektimin]] dhe [[ndryshimi i bazës]] në krahasim me analoget e fundem dimensionale.  Në veçanti, [[teoria spektrale]] e [[operatorit linear]] të [[funksioni i vazhdueshëm]] [[operatori vete-adjoint|vete-adjointuar (?)]] në një hapësire Hilberti përgjithëson dekompozimin spektral të zakonshëm tek një  [[matrica (matematikë)|matricë]], gjë kjo e cila luan një rol madhor në aplikimet e teorisë në fusha tjera të matematikës dhe fizikës.

=== Teoria e Sturm–Liuvilit ===
{{main|Teoria e Sturm–Liouville|Teoria spektrale e ekuacioneve diferenciale ordinere}}
[[Image:Harmonic partials on strings.svg|right|thumb| [[Overtoni]] i një korde vibruese.  Këto janë [[ajgenfunksione]] të problemit Sturm–Ljuville.  Ajgenvlerat 1, 1/2, 1/3...  formojnë [[serite harmonike (muzike)|serite harmonike]] (muzikore).]]
Në teorinë e [[ekuacioneve diferenciale të zakonshme]], metodat spektrale në një hapësire të përshtatshme Hilberti përdoren për të studiuar sjelljen e vlerave të veta dhe "funksioneve të veta" të ekuacioneve diferenciale.  Për shembull, [[teoria e Sturm–Ljuvilit|problemi i Sturm–Ljuvilit]] del në studimin e valëve harmonike në një kordë (tel i shtrënguar) ose në një daulle.<ref>{{harvnb|Young|1987|loc=Chapter 9}}.</ref>  Problemi është një ekuacion diferencial i formës
:<math> -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y</math>
Për një variabël të panjohur ''y'' në një interval  [''a'',''b''], që kënaq [[konditat kufitare homogjene Robin]]
:<math>\begin{cases}
\alpha y(a)+\alpha' y'(a)=0\\
\beta y(b) + \beta' y'(b)=0.
\end{cases}</math>
Funksionet ''p'', ''q'', dhe ''w'' jepen më përpara, dhe problemi është të gjendet një funksion ''y'' dhe një konstante λ për të cilën ekuacioni ka një zgjidhje.  Problemi ka zgjidhje vetëm për disa vlera të caktuara të λ, të quajtura "vlera të veta" të sistemit, kjo është një rrjedhim i teoremës spektrale për [[operatoret kompakt]] të aplikuar tek [[operatori integral]] i përcaktuar nga [[funksioni i Grinit]] për sistemin.  Për me tepër, një rrjedhim tjetër i këtij rezultati të përgjithshëm është se "vlerat e veta" λ të një sistemi mund të vendosen në një varg rritës që tenton në infinit.<ref>Ajgenvlerat e kernelit të Fredholmit janë  1/&lambda;, të cilat tentojnë në zero.</ref>

=== Ekuacionet diferenciale pjesore ===

=== Teoria ergodike ===

=== Te tjera ===

== Percaktime dhe shembuj==

=== Hapësirat Euklidiane ===
=== Hapësira e vargjeve të pafundme ===
=== Hapësirat e Lebesgut ===
=== Hapësirat e Sobolevit ===
=== Hapësirat e Hardit ===
=== Shumat direkte ===
=== Produktet tensoriale ===

== Vetitë ==
=== Identiteti i Pitagorës ===
==== Jobarazimi i Bezelit ====

=== Vetia  e kompletimit ===

=== Identiteti i Paralelogramit dhe polarizimi ===

=== Topologjia ===

=== Përafrimi më i mire ===

=== Refleksiviteti ===
==== Vargjet  me  konvergjencë të  dobët ====

== Bazat ortonormale ==
=== Dimensioni i Hilbertit ===
=== Hapësirat e ndashme ===

==Komplementi dhe projeksioni  ortogonal==

== Operatoret ne hapësirat Hilbertiane ==
=== Operatoret e lidhur ===
=== Operatoret e palidhur ===

== Shikoni gjithashtu ==
{{portal|Matematika|Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg}}
{{wikibooks|Analiza Funksionale/Hapësirat e Hilbertit}}
* [[Analiza harmonike]]
* [[Operatoret Hermitiane]]
* [[Moduli Hilbert C*]]
* [[Manifoldi i Hilbertit]]
* [[Analiza matematike]]
* [[Algjebra e operatoreve]]
* [[Topologjitë në një bashkësi të operatoreve në një hapësire Hilberti]]

==Shënime==
{{reflist|2}}

== Referime ==
* {{citation|title=Partial differential equations|first=Lipman|last= Bers|authorlink=Lipman Bers|first2=Fritz|last2= John|authorlink2=Fritz John|first3= Martin|last3= Schechter|publisher= American Mathematical Society|year=1981|id=ISBN 0-8218-0049-3}}.
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Spectral theories|series=Elements of mathematics|publisher= Springer-Verlag|publication-place=Berlin|year=1986|id=ISBN 0-201-00767-3}}
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Topological vector spaces|series=Elements of mathematics|publisher= Springer-Verlag|publication-place=Berlin|year=1987|isbn=978-3540136279}}
* {{citation|first1=S.|last1=Brenner|first2=R. L.|last2=Scott|title=The Mathematical Theory of Finite Element Methods|edition=2nd|publisher=Springer|year=2005|isbn=0-3879-5451-1}}.
* {{citation|first=J. A.|last=Clarkson|title=Uniformly convex spaces|journal=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=40|year=1936|pages=396–414|url=http://www.jstor.org/stable/1989630|doi=10.2307/1989630}}.
* {{citation|first=Richard|last=Courant|authorlink=Richard Courant|first2=David|last2=Hilbert|authorlink2=David Hilbert|title=Methods of Mathematical Physics, Vol. I|publisher=Interscience|year=1953}}
* {{citation| first = Jean| last = Dieudonné| authorlink=Jean Dieudonné|title= Foundations of Modern Analysis|publisher = Academic Press| year= 1960}}.
* {{citation|first1=N.|last1=Dunford|first2=J.T.|last2=Schwartz|authorlink2=Jacob T. Schwartz|title=Linear operators, Parts I and II|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.
* {{citation|first=P.|last= Duren|title=Theory of H<sup>p</sup>-Spaces|year=1970|publisher= Academic Press|publication-place= New York}}.
* {{citation|first=Gerald B.|last=Folland|title=Harmonic analysis in phase space|series=Annals of Mathematics Studies|volume= 122|publisher=Princeton University Press|year= 1989|id= ISBN 0-691-08527-7}}
* {{citation|first=Maurice|last=Fréchet|title=Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=144|pages=1414–1416|year=1907}}.
* {{citation|first=Maurice|last=Fréchet|title=Sur les opérations linéaires|year=1904–1907}}.
* {{citation|first=Enrico|last=Giusti|title=Direct Methods in the Calculus of Variations|publisher=World Scientific|year=2003|isbn=981-238-043-4}}.
* {{citation| last =Halmos| first =Paul| authorlink=Paul Halmos|title=Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity|year=1957| publisher=Chelsea Pub. Co}}
* {{citation| last=Halmos|first=Paul|authorlink=Paul Halmos|title=A Hilbert Space Problem Book|year=1982|publisher=Springer-Verlag|id=ISBN 0387906851}}
* {{citation| last = Hewitt| first = Edwin| last2 = Stromberg| first2 = Karl| title = Real and Abstract Analysis| year = 1965| publisher = Springer-Verlag| location= New York}}.
* {{citation| last1 = Hilbert| first1 = David| authorlink1 = David Hilbert| last2 = Nordheim| first2 = Lothar (Wolfgang)| authorlink2 = Lothar Nordheim| last3 = von Neumann| first3 = John| authorlink3 = John von Neumann| title = Über die Grundlagen der Quantenmechanik| url = http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D27779| journal = Mathematische Annalen| volume = 98| pages = 1–30| year = 1927| doi = 10.1007/BF01451579}}{{Lidhje e vdekur}}.
* {{citation| title = Элементы теории функций и функционального анализа| last1 = Колмогоров| first1 = А. Н.| authorlink1 = Andrey Kolmogorov| last2= Фомин|first2= С. В.| authorlink2 = Sergei Fomin| year = 1989| edition = sixth Russian (with corrections)| publisher = "Nauka", Moscow| isbn= 5-02-013993-9}}.
* {{citation| title = Introductory Real Analysis| last1 = Kolmogorov| first1 = Andrey| authorlink1 = Andrey Kolmogorov| last2= Fomin|first2= Sergei V.| authorlink2 = Sergei Fomin| year = 1970| edition = Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975)| publisher = Dover Press| isbn= 0-486-61226-0}}.
* {{citation|id=H/h047380|title=Hilbert space|author=B.M. Levitan}}.
* {{citation|first=Michael|last=Reed|authorlink=Michael Reed|first2=Barry|last2=Simon|authorlink2=Barry Simon|series=Methods of Modern Mathematical Physics|title=Functional Analysis|publisher=Academic Press|year=1980|isbn= 0-12-585050-6}}.
* {{citation|first=Michael|last=Reed|authorlink=Michael Reed|first2=Barry|last2=Simon|authorlink2=Barry Simon|title=Fourier Analysis, Self-Adjointness|series=Methods of Modern Mathematical Physics|publisher=Academic Press|year=1975|id=ISBN 0-12-5850002-6}}.
* {{citation| last=Prugovečki|first=Eduard|title=Quantum mechanics in Hilbert space|publisher=Dover|edition=2nd|year=1981|publication-date=2006|isbn=978-0486453279}}.
* {{citation| first=Frigyes|last=Riesz|authorlink=Frigyes Riesz|title=Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=144|pages=1409–1411|year=1907}}.
* {{citation|first=Frigyes|last=Riesz|authorlink=Frigyes Riesz|title=Zur Theorie des Hilbertschen Raumes|journal=Acta Sci. Math. Szeged|volume=7|pages=34–38|year=1934}}.
* {{citation|first=Frigyes|last=Riesz|authorlink=Frigyes Riesz|first2=Béla|last2=Sz.-Nagy|authorlink2=Béla Szőkefalvi-Nagy|title=Functional analysis|publisher=Dover|year=1990|isbn= 0-486-66289-6}}.
* {{citation| first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Functional analysis|publisher=Tata MacGraw-Hill|year=1973}}.
* {{citation| last=Schmidt| first=Erhard|authorlink=Erhard Schmidt|title=Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten|journal=Rend. Circ. Mat. Palermo|volume=25|pages=63–77|year=1908| doi=10.1007/BF03029116}}.
* {{citation|first=Stanisław|last=Saks|authorlink=Stanisław Saks|title=Theory of the integral|publisher=Dover|year=2005|edition=2nd Dover|isbn=978-0486446486}}; originally published ''Monografje Matematyczne'', vol. 7, Warszawa, 1937.
* {{citation|title=Calculus: Concepts and Contexts|edition=3rd|first=James|last=Stewart|publisher=Thomson/Brooks/Cole|year=2006}}.
* {{citation| last=TitchMarsh|first=Edward Charles|authorlink=Edward Charles TitchMarsh|title=Eigenfunction expansions, part 1|year=1946|publisher=Clarendon Press|publication-place=Oxford University}}.
* {{citation| last=von Neumann| first=John| authorlink=John von Neumann| title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren| journal=Mathematische Annalen| volume = 102| pages = 49–131| year = 1929| doi=10.1007/BF01782338}}.
* {{citation|first=John|last=von Neumann|authorlink=John von Neumann|title=Physical Applications of the Ergodic Hypothesis|year=1932|journal=Proc Natl Acad Sci USA|volume=18|pages=263–266|url=http://www.jstor.org/stable/86260|doi=10.1073/pnas.18.3.263}}.
* {{citation| last=Walters| first=Peter|year=1982|publisher=Springer-Verlag|title=An Introduction to Ergodic Theory|isbn=0-387-95152-0}}.
* {{citation| last=Weyl| first=Hermann| authorlink=Hermann Weyl| title = The Theory of Groups and Quantum Mechanics| year = 1931| publisher = Dover Press| edition = English 1950| isbn= 0-486-60269-9}}.
* {{citation| last=Young|first=N|title=An introduction to Hilbert space|publisher=Cambridge University Press|year=1988|isbn=0-521-33071-8}}.
* {{citation|first=Robert|last=Zimmer|authorlink=Robert Zimmer|title=Essential Results of Functional Analysis|year=1990|id=ISBN 0-226-98338-2|publisher=University of Chicago Press}}

==Lidhje të jashtme==
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertSpace.html Hilbert Space at Mathworld]

[[Kategoria:Algjebër]]
[[Kategoria:Teoria e Operatorëve]]
[[Kategoria:Mekanikë kuantike]]