Shih burimin për Integralet jo te vete

== Integralet jo të  vetë  ==

[[File:Integral example 2.png|thumb|Integrali i f(x) nga a në b është syprina sipër aksit x poshtë lakores y = f(x), minus syprinën poshtë aksit x dhe sipër lakores, për x në intervalin [a,b].]]
Në përkufizimin e [[integrali]]t te caktuar : <math>\int_a^b \! f(x)\,dx</math>     supozohej se intervali [a,b] është I fundëm, ndërsa funksioni f(x) të jetë I vazhdueshëm në këtë interval.Mirëpo problemet e ndryshme,si ato teorike ashtu edhe ato praktike,shpesh na sjellin deri te integrali I caktuar I funksionit në interval të pafundëm apo te integrali I caktuar I funksionit që ka shkëputje në intervalin [a,b].Integralet e  tillë I quajmë '''integrale jo të  vetë'''.

==Integrali jo i vetë me kufij të pafundëm==

Le të jetë f një funksion i vazhdueshem në intervalin e pafundëm [a,<math> \infty</math> ).Integrali jo i vetë i funksionit f të vazhdueshëm në [a,<math> \infty</math> ) e quajme [[limiti]]n e integralit : <math>\int_a^t \! f(x)\,dx</math>         kur t→<math> \infty</math>  dhe simbolikisht shkruajmë:
 <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx \  =  \lim_{t \to \infty} \int_a^t \! f(x)\,dx </math>
Në qoftë se ekziston ky limit dhe është i fundëm,atëherë themi se integrali jo i vetë <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math> ''konvergjon'',në raste tjera themi se integrali jo i vetë ''divergjon''.
Në mënyrë analoge përkufizohet edhe integrali jo i vetë me kufirin e poshtëm të pafundëm:

<math>\int_{-\infty}^{b} \, f(x)\ dx =\lim_{t \to -\infty} \int_t^b \! f(x)\,dx</math>.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin e pafundem (<math>\infty</math>,<math>-\infty</math>),atëherë integrali:

<math>\int_{-\infty}^{\infty} \, f(x)\ dx =\int_{-\infty}^{c} \, f(x)\ dx + \int_{c}^{\infty} \, f(x)\ dx </math>.

konvergjon kur të dy integralet në anën e djathtë të barazimit konvergjojnë,ndërsa c është një numër i çfarëdoshëm.

Në shumë probleme si praktike ashtu edhe teorike paraqitet rasti kur funksioni primitiv i funksionit nënintegral nuk është funksion elementar,por nevojitet të dihet se integrali jo i vetë i tillë a konvergjon apo divergjon.Prandaj,ngjashëm me seritë numerike,pa e njehesuar integralin jo të vetë,me kritere krahasuese,mund te konkludohet se a konvergjon apo divergjon.

==Teoremë==
Le të jenë f dhe g dy funksione të tilla që për çdo x <math>\in </math> (a,<math>\infty</math>) vlen 0 <math>\le \!\,</math>  f(x) <math>\le \!\,</math> g(x).Atëherë,

(I) në qoftë se konvergjon  <math>\int_{a}^{\infty} \, g(x)\ dx </math> ,konvergjon dhe <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math>;

(II) në qoftë se divergjon  <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math> ,divergjon  dhe <math>\int_{a}^{\infty} \, g(x)\ dx </math>;

Në qoftë se <math>\int_{a}^{\infty} \, | f(x)\ | dx </math> konvergjon, atëherë konvergjon edhe <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math>.

Për integralin <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math>  themi se konvergjon ''absolutisht'' në qoftë se konvergjon integrali <math>\int_{a}^{\infty} \, | f(x)\ | dx </math> .Në qoftë se <math>\int_{a}^{\infty} \, | f(x)\ | dx </math> divergjon, por <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math> konvergjon,atëherë themi se integrali <math>\int_{a}^{\infty} \, f(x)\ dx </math> ''konvergjon joabsolutisht''.

==Integrali jo i vetë i funksionit të pakufizuar==

Integral jo i vetë është edhe integrali me kufij të fundëm të integrimit, por funksioni nënintegral është i pakufizuar  në një pikë  apo në një numër  të fundëm pikash  të  intervalit të intgrimit.

Le  të jetë f një funksion i vazhdueshëm në [a,b) dhe le të jetë :<math> \lim_{x \to b-}f(x) =+\infty </math> ose   :<math> \lim_{x \to b-}f(x) =-\infty </math> .Atëherë  integrali :

<math>\int_{a}^{b} \,  f(x)\  dx </math> = <math> \lim_{t \to b-}\int_{a}^{t} \,  f(x)\ dx </math>  ,  (a <math>\le \!\,</math> t < +<math>\infty</math>)

konvergjon  sa herë që limiti në anën e djathtë të barazimit  të mësipërm të ekziston.

Në  qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm  në intervalin [a,b]  përveç  në pikën  c, a<c<b dhe  <math> \lim_{x \to c} |f(x)|=\infty</math> , atëherë  integrali jo i vetë:

<math>\int_{a}^{b} \,  f(x)\ dx </math>=<math>\int_{a}^{c} \,  f(x)\ dx </math>  + <math>\int_{c}^{b} \,  f(x)\ dx </math> ,konvergjon, në qofte se të  dy integralet në  anën e djathte te barazimit konvergjojnë.Përkufizimi i fundit mund të përgjithsohet edhe në rastin kur funksioni f në intervalin [a,b] ka një numër të fundëm pikash c<sub>i</sub> (i=1,2,...,n) për të  cilat :<math> \lim_{x \to ci}|f(x)| =\infty </math>

Në qoftë se në intervalin [a,b) funksionet f dhe g janë të  tilla që  <math> \lim_{x \to b-}f(x) =+\infty </math> dhe :<math> \lim_{x \to b-}g(x) =+\infty </math>  si dhe 0 <math>\le \!\,f(x)\le \!\,g(x)</math> , atëherë :

(I) në qoftë se konvergjon  <math>\int_{a}^{b} \, g(x)\ dx </math> ,konvergjon dhe <math>\int_{a}^{b} \, f(x)\ dx </math> ;

(II) në qoftë se divergjon  <math>\int_{a}^{b} \, f(x)\ dx </math> ,divergjon  dhe <math>\int_{a}^{b} \, g(x)\ dx </math> .

==Referimet==

<ref>Matematika II,III, Dr.Sc. Ejup Hamiti</ref>
<ref>http://mathworld.wolfram.com/Integral.html</ref>
<ref>https://sq.wikipedia.org/wiki/Integrali</ref>

[[Kategoria:Matematikë]]