Shih burimin për Jakobiani dhe përcaktori i një matrice

Në [[Llogaritja vektoriale|analizën matematike vektoriale]], '''matrica jakobiane''' e një [[Funksioni me vlerë vektoriale|funksioni me vlera vektoriale]] të disa ndryshoreve është [[matrica]] e të gjithë [[Derivati pjesor|derivateve të tij të pjesshme]] të rendit të parë. Kur kjo matricë është [[Matrica katrore|katrore]], domethënë, kur funksioni merr të njëjtin numër ndryshoresh si hyrje po aq sa numri i [[Vektori|përbërësve vektorialë]] të prodhimit të tij, [[Determinanti|përcaktorit]] të tij i referohet si '''përcaktor Jakobian''' . Si matrica ashtu edhe (nëse është e zbatueshme) përcaktori shpesh referohen thjesht si '''Jakobian''' në literaturë. <ref>{{Cite web |last=W. |first=Weisstein, Eric |title=Jacobian |url=http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20171103144419/http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html |archive-date=3 nëntor 2017 |access-date=2 maj 2018 |website=mathworld.wolfram.com}}</ref>

== Shembull ==
Supozoni <math>f : \R^n \to \R^m</math> është një funksion i tillë që secili prej derivateve të pjesshme të tij të rendit të parë ekzistojnë në <math>\R^n</math>. Ky funksion merr një pikë <math>x \in \operatorname{R}^n</math> si hyrje dhe prodhon vektorin <math>f(x) \in \operatorname{R}^m</math> si dalje. Pastaj matrica jakobiane e f përcaktohet të jetë një matricë m × n, e shënuar me J, hyrja (i, j ) e së cilës është <math display="inline">\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math>, ose në mënyrë eksplicite

: <math>\mathbf J = \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
 \nabla^{\mathrm T} f_1 \\ 
 \vdots \\
 \nabla^{\mathrm T} f_m  
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
  \vdots               & \ddots & \vdots\\
  \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{bmatrix}</math>

ku <math>\nabla^{\mathrm T} f_i </math> është transpozimi (vektori i rreshtit) i [[Gradient|gradientit]] të përbërëses <math>i</math> .

Matrica Jakobiane, hyrjet e së cilës janë funksione të x, shënohet në mënyra të ndryshme; shënimet e zakonshme përfshijnë <math>D \boldsymbol{f}</math>,<math>\boldsymbol{J_f}</math>,<math>\nabla \mathbf{f}</math>, dhe <math>\frac{\partial(f_1,..,f_m)}{\partial(x_1, ..,x_n)}</math> . Disa autorë e përkufizojnë Jakobianin si transpozim të formës së dhënë më sipër.

Matrica Jakobiane [[Matrica|paraqet]] diferencialin e f në çdo pikë ku f është i diferencueshëm. Në mënyrë të detajuar, nëse h është një [[Zhvendosja (fizikë)|vektor zhvendosjeje]] i përfaqësuar nga një matricë shtyllë, prodhimi i matricës J ( x ) ⋅ h është një vektor tjetër zhvendosjeje, që është përafrimi më i mirë linear i ndryshimit të f në një zonë rrethuese të x, nëse <math>f(x)</math> është i diferencueshëm në x . {{Efn|Differentiability at {{math|'''x'''}} implies, but is not implied by, the existence of all first-order partial derivatives at {{math|'''x'''}}, and hence is a stronger condition.}} Kjo do të thotë se funksioni që e paraqet <math>y</math> në <math>f(x)+J(x)(x-h)</math> është përafrimi më i mirë linear i <math>f(y)</math> për të gjitha pikat y afër x . Harta lineare <math>h \to J(x) \cdot h</math> njihet si ''derivat'' ose <nowiki><i id="mwVQ">diferencial</i></nowiki> i f në x .

== Përcaktori jakobian ==
[[Skeda:Jacobian_determinant_and_distortion.svg|parapamje|400x400px| Një hartë jolineare <math>f \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}</math> dërgon një katror të vogël (majtas, me të kuqe) në një paralelogram të shformuar (djathtas, me të kuqe). Jakobiani në një pikë jep përafrimin më të mirë linear të paralelogramit të shtrembëruar pranë asaj pike (djathtas, në të bardhë të tejdukshme), dhe përcaktori Jakobian jep raportin e sipërfaqes së paralelogramit të përafërt me atë të katrorit fillestar.]]
Nëse m = n, atëherë f është një funksion nga <math>\operatorname{R^n}</math> në vetvete dhe matrica Jakobiane është një matricë katrore . Më pas mund të formojmë [[Determinanti|përcaktorin]] e tij, të njohur si '''përcaktori Jakobiane''' . Përcaktori jakobian nganjëherë referohet thjesht si "jakobian".

Përcaktori Jacobian përdoret kur bëhet një zëvëndësim i ndryshoreve kur vlerësohet një integral i shumëfishtë i një funksioni mbi një rajon brenda domenit të tij. Për të akomoduar ndryshimin e koordinatave, madhësia e përcaktorit jakobian lind si një faktor shumëzues brenda integralit. Kjo është për shkak se elementi n -dimensional dV është në përgjithësi një paralelopiped në sistemin e ri të koordinatave, dhe vëllimi n i një paralelipipedi është përcaktuesi i vektorëve të skajit të tij.

== Shembuj ==

=== Shembulli 1 ===
Merrni parasysh funksionin <math>\boldsymbol{f} : \boldsymbol{R^2} \to \boldsymbol{R^2}</math> , me (x, y ) ↦ ( <math>f_1(x,y)</math>, <math>f_2(x,y)</math>), dhënë nga

: <math> \mathbf f\left(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} x^2 y \\5 x + \sin y 
 \end{bmatrix}.</math>

Pastaj kemi

: <math>f_1(x, y) = x^2 y</math>

dhe

: <math>f_2(x, y) = 5 x + \sin y</math>

dhe matrica jakobiane e f është

: <math>\mathbf J_{\mathbf f}(x, y) = \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\[1em]
 \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
 2 x y & x^2  \\
 5   & \cos y \end{bmatrix}</math>

dhe jakobiani është

: <math>\det(\mathbf J_{\mathbf f}(x, y)) = 2 x y \cos y - 5 x^2 .</math>

=== Shembulli 2: transformimi polar-kartezian ===
Shndërrimi nga [[Sistemi koordinativ polar|koordinatat polare]] (r, φ ) në [[Sistemi koordinativ kartezian|koordinatat karteziane]] ( ''x'', ''y'' ), jepet nga funksioni F : <math>R^{+}</math> × [0, 2 π ) →<math>R^2</math> me përbërës:

: <math>\begin{align}
x &= r \cos \varphi ; \\
y &= r \sin \varphi .
\end{align}</math>
: <math>\mathbf J_{\mathbf F}(r, \varphi) = \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1em]
 \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\varphi} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
 \cos\varphi & - r\sin \varphi \\
 \sin\varphi &  r\cos \varphi \end{bmatrix}</math>

Jakobiani është i barabartë me r . Kjo mund të përdoret për të transformuar integrale midis dy sistemeve të koordinatave:

: <math>\iint_{\mathbf F(A)} f(x, y) \,dx \,dy = \iint_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \, r \, dr \, d\varphi .</math>

=== Shembulli 3: transformimi sferik-kartezian ===
Shndërrimi nga [[Sistemi koordinativ sferik|koordinatat sferike]] (ρ, φ, θ ) <ref>Joel Hass, Christopher Heil, and Maurice Weir. ''Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e''. Pearson, 2018, p. 959.</ref> në [[Sistemi koordinativ kartezian|koordinatat karteziane]] ( ''x'', ''y'', ''z'' ), jepet me funksionin F : <math>R^{+}</math> × [0, π ) × [0, 2 π ) → <math>R^3</math> me përbërës:

: <math>\begin{align}
x &= \rho \sin \varphi \cos \theta ; \\
y &= \rho \sin \varphi \sin \theta ; \\
z &= \rho \cos \varphi .
\end{align}</math>

Jakobiani për këtë ndryshim të koordinatave është

: <math>\mathbf J_{\mathbf F}(\rho, \varphi, \theta)
= \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial x}{\partial \rho} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\[1em]
 \dfrac{\partial y}{\partial \rho} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \\[1em]
 \dfrac{\partial z}{\partial \rho} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta}
 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
   \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta \\
   \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta \\
   \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0
 \end{bmatrix}.</math>

[[Determinanti|Përcaktori]] është <math>\rho^2 \sin(\varphi)</math> . Meqenëse <math>dV = dx \cdot dy \cdot dz</math> është vëllimi për një element vëllimi diferencial drejtkëndor (sepse vëllimi i një prizmi drejtkëndor është prodhimi i anëve të tij), ne mund të interpretojmë <math>dV  = \rho^2 \sin(\varphi) d \varphi d \vartheta d \rho</math> si vëllimin e diferencialit sferik. element vëllimi . Ndryshe nga vëllimi i elementit të vëllimit diferencial drejtkëndor, vëllimi i këtij elementi vëllimor diferencial nuk është konstant dhe ndryshon me koordinatat ( ρ dhe φ ). Mund të përdoret për të transformuar integrale midis dy sistemeve të koordinatave:

: <math>\iiint_{\mathbf F(U)} f(x, y, z) \,dx \,dy \,dz = \iiint_U f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi\sin \theta, \rho \cos \varphi) \, \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta .</math>

=== Shembulli 4 ===
Matrica Jakobiane e funksionit <math>F: R^3 \to R^4</math> me përbërës

: <math>\begin{align}
y_1 &= x_1 \\
y_2 &= 5 x_3 \\
y_3 &= 4 x_2^2 - 2 x_3 \\
y_4 &= x_3 \sin x_1
\end{align}</math>

: <math>\mathbf J_{\mathbf F}(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[1em]
 \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[1em]
 \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[1em]
 \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 5 \\
 0 & 8 x_2 & -2 \\
 x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}.</math>

Ky shembull tregon se matrica Jakobiane nuk duhet të jetë me doemos një matricë katrore.