Shih burimin për Kuaternioni


{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center; margin-left:0.5em; max-width: 230px;"
|+Tabela e shumëzimit të kuaternioneve
! nowrap="" width="15" | &#x2193;&#x2009;&#xD7;&#x2009;&#x2192;
! width="15" | 1
! width="15" | i
! width="15" | j
! width="15" | k
|-
! 1
| 1
| i
| j
| k
|-
! i
| i
| −1
| k
| −j
|-
! j
| j
| −k
| −1
| i
|-
! k
| k
| j
| −i
| −1
|-
| colspan="5" | Shtylla e majtë tregon faktorin e majtë, rreshti i sipërm tregon faktorin e djathtë. Gjithashtu, <math>a\mathbf{b}=\mathbf{b}a</math> dhe <math>-\mathbf{b} = (-1)\mathbf{b}</math> për <math>a\in \mathbb{R} </math>, <math>\mathbf{b} = \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} </math> .
|}
[[Skeda:Cayley_Q8_multiplication_graph.svg|parapamje| [[Grafiku Cayley|Grafi Cayley Q8]] që tregon gjashtë ciklet e shumëzimit me {{Kuqe|'''i'''}}, {{Gjelbër|'''j'''}} dhe {{Kaltër|'''k'''}} . (Nëse imazhi hapet në [[Wikimedia Commons]] duke klikuar dy herë mbi të, ciklet mund të theksohen duke qëndruar pezull mbi to ose duke klikuar mbi to.)]]
Në [[Matematika|matematikë]], [[Numri|sistemi '''kuaternion''' i numrave]] zgjeron [[numrat kompleksë]] . Kuaternionet u përshkruan për herë të parë nga matematikani irlandez [[William Rowan Hamilton]] në 1843 <ref>{{Cite journal |date=17 tetor 1843 |title=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra |journal=Letter to John T. Graves}}</ref> <ref>{{Cite book |last=Rozenfelʹd |first=Boris Abramovich |url=https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&pg=PA385 |title=The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space |publisher=Springer |year=1988 |isbn=9780387964584 |page=385}}</ref> dhe u aplikuan në [[Mekanika|mekanikë]] në [[Hapësira tre-dimensionale|hapësirën tre-dimensionale]]. Algjebra e kuaternioneve shpesh shënohet me H (për ''Hamilton'' ), ose me shkronja të zeza me <math>\mathbb H.</math> Kuaternionet nuk janë [[Fusha (matematikë)|fushë]], sepse shumëzimi i kuaternioneve nuk është, në përgjithësi, [[Vetia e ndërrimit|ndërrues]] . Kuaternionet japin një përkufizim të herësit të dy [[Vektori|vektorëve]] në një hapësirë tre-dimensionale. <ref>{{Cite book |url=https://archive.org/details/bub_gb_TCwPAAAAIAAJ |title=Hamilton |publisher=Hodges and Smith |year=1853 |page=[https://archive.org/details/bub_gb_TCwPAAAAIAAJ/page/n188 60] |quote=quaternion quotient lines tridimensional space time}}</ref> <ref>{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=YNE2AAAAMAAJ&q=quotient+two+vectors+called+quaternion |title=Hardy 1881 |publisher=Ginn, Heath, & co. |year=1881 |isbn=9781429701860 |page=32}}</ref> Kuaternionet përfaqësohen përgjithësisht në formën:

<math display="block">a + b\ \mathbf i + c\ \mathbf j +d\ \mathbf k,</math>

ku koeficientët a, b, c, d janë [[Numrat realë|numra realë]], dhe 1, '''i''', '''j''', '''k''' janë ''vektorët bazë'' ose ''elementet bazë'' . <ref>{{Citation |last=Curtis |first=Morton L. |title=Matrix Groups |page=10 |year=1984 |edition=2nd |place=New York |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-96074-6}}</ref>

Kuaternionet përdoren në [[Matematikë e pastër|matematikën e pastër]], por gjithashtu kanë përdorime praktike në [[Matematika aplikative|matematikën e zbatuar]], veçanërisht për [[Kuaternionet dhe rrotullimi hapësinor|llogaritjet që përfshijnë rrotullime tre-dimensionale]], të tilla si në [[Grafika kompjuterike 3D|grafikat kompjuterike tredimensionale]], [[Vizioni kompjuterik|vizionin kompjuterik]], [[Imazhi me rezonancë magnetike|imazhet e rezonancës magnetike]] <ref name="Mamone">{{Cite journal |last=Mamone |first=Salvatore |last2=Pileio |first2=Giuseppe |last3=Levitt |first3=Malcolm H. |year=2010 |title=Orientational Sampling Schemes Based on Four Dimensional Polytopes |journal=Symmetry |volume=2 |issue=3 |pages=1423–1449 |bibcode=2010Symm....2.1423M |doi=10.3390/sym2031423 |doi-access=free}}</ref> dhe analizën e teksturës kristalografike . <ref name="Lunze">{{Cite journal |last=Kunze |first=Karsten |last2=Schaeben |first2=Helmut |date=nëntor 2004 |title=The Bingham distribution of quaternions and its spherical radon transform in texture analysis |journal=Mathematical Geology |volume=36 |issue=8 |pages=917–943 |bibcode=2004MatGe..36..917K |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59}}</ref> Ato mund të përdoren krahas metodave të tjera të rrotullimit, si [[Këndet e Euler-it|këndet e Eulerit]] dhe [[Matrica e rrotullimit|matricat e rrotullimit]], ose si një alternativë ndaj tyre, në varësi të aplikimit.

Në terma moderne, kuaternionet formojnë një algjebër të pjesëtimit të normuar shoqërues katërdimensional mbi numrat realë, dhe për këtë arsye një unazë, gjithashtu një [[Unaza e ndarjes|unazë pjesëtimi]] dhe një [[Domeni (teoria e unazës)|domen]] . Është një rast i veçantë i një [[Algjebra Clifford|algjebre të Klifordit]], e klasifikuar si <math>\operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)\cong \operatorname{Cl}_{3,0}^+(\mathbb R).</math> Ishte algjebra e parë jondërruese e ndarjes që u zbulua.

[[Skeda:Quaternion_2.svg|djathtas|parapamje| Paraqitja grafike e produkteve të njësive të kuaternionit si rrotullime 90° në rrafshet e hapësirës 4-dimensionale të shtrirë nga dy nga {1, i, j, k }. Faktori i majtë mund të shihet si i rrotulluar nga faktori i duhur për të arritur te produkti. Vizualisht i ⋅ j = − ( j ⋅ i ) . {{Bulleted list|{{font color|blue|Me ''blu'':
{{bulleted list |{{Math|1=1{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''i'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''i'''}} (plani 1/'''i''' ) | {{Math|1='''i'''{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''j'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''k'''}} (plani '''i'''/'''k''' )
}} }}|{{font color|red|Me ''të kuqe'':
{{bulleted list |{{Math|1=1{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''j'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''j'''}} (plani 1/'''j''' ) | {{Math|1='''j'''{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''i'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}−'''k'''}} (plani '''j'''/'''k''' )
}}
}}}}]]
<math display="block">\mathbf i \, 1 = 1 \, \mathbf i = \mathbf i, \qquad \mathbf j \, 1 = 1 \, \mathbf j = \mathbf j, \qquad \mathbf k \, 1 = 1 \, \mathbf k= \mathbf k \,.</math>

== Përkufizimi ==
Një ''kuaternion'' është një shprehje e formës

<math display="block"> q = a + b\mathbf i + c\mathbf j + d\mathbf k = a + \mathbf{v}, </math>


Bashkësia e kuaternioneve është një [[Hapësira vektoriale|hapësirë vektoriale]] 4-dimensionale mbi numrat realë, me <math>\left\{ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\right\}</math> si [[Baza (algjebër lineare)|bazë]], nga shtimi sipas përbërësve

<math display="block">a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}\ ,</math>

dhe shumëzimi skalar sipas përbërësve

<math display="block">\begin{align}
&(a_1+b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k) + (a_2 + b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k) \\[3mu]
&\qquad = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\,\mathbf i + (c_1 + c_2)\,\mathbf j + (d_1 + d_2)\,\mathbf k,
\end{align}</math>

* Kuaternion real 1 është elementi i identitetit .
* Kuaternionet '''reale''' ndërrohen me të gjithë kuaternionet e tjera, pra ''aq = qa'' për çdo kuaternion q dhe çdo kuaternion real ''a'' . Në terminologjinë algjebrike kjo do të thotë se fusha e kuaternioneve reale është <nowiki><i id="mwAYU">qendra</i></nowiki> e kësaj algjebre kuaternionesh.
* Prodhimi jepet fillimisht për elementet bazë (shih nënseksionin tjetër), dhe më pas shtrihet në të gjitha kuaternionet duke përdorur vetinë e përdasisë dhe vetinë qendrore të kuaternioneve reale. Produkti Hamilton nuk është [[Vetia e ndërrimit|ndërrues]], por është [[Vetia e shoqërimit|shoqërues]], kështu kuaternionet formojnë një algjebër asociative mbi numrat realë.
* Për më tepër, çdo kuaternion jozero ka një të anasjelltë në lidhje me prodhimin Hamiltonian: <math display="block">(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d \,\mathbf k)^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\,(a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j- d\,\mathbf k).</math>

=== Shumëzimi i elementeve bazë ===
{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+[[Tabela e shumëzimit]]
! width="15" | ×
! width="15" | 1
! width="15" | i
! width="15" | j
! width="15" | k
|-
! 1
| 1
| i
| j
| k
|-
! i
| i
| −1
| style="background: #FF9999;" | k
| style="background: #9999FF;" | −j
|-
! j
| j
| style="background: #FF9999;" | −k
| −1
| style="background: #99FF99;" | i
|-
! k
| k
| style="background: #9999FF;" | j
| style="background: #99FF99;" | −i
| −1
|-
|+ Jokomutativiteti theksohet nga katrorët me ngjyra
|}
Shumëzimi me 1 të elementeve bazë i, j, dhe k përcaktohet nga fakti se 1 është një identitet shumëzues, d.m.th.

<math display="block">\begin{align}
\mathbf i^2 &= \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -1, \\[5mu]
\mathbf{i\,j} &= - \mathbf{j\,i} = \mathbf k, \qquad
\mathbf{j\,k} = - \mathbf{k\,j} = \mathbf i, \qquad
\mathbf{k\,i} = - \mathbf{i\,k} = \mathbf j.
\end{align}</math>

Produktet e elementeve të tjera bazë janë

<math display="block">\lambda(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k) = \lambda a + (\lambda b)\,\mathbf i + (\lambda c)\,\mathbf j + (\lambda d)\,\mathbf k.</math>

Duke kombinuar këto rregulla,

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{i\,j\,k}&=-1.
\end{align}</math>

<math display="block">a = \| q \| \cos( \varphi )</math>

<math display="block">\ln(q) = \ln \|q\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \arccos \frac{a}{\|q\|}.</math>

<math display="block">
\exp(q)
= \sum_{n=0}^\infty \frac{q^n}{n!}
= e^{a} \left(\cos \|\mathbf{v}\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \sin \|\mathbf{v}\|\right),
</math>

<math display="block">\mathbf{v} = \hat{n} \|\mathbf{v}\|= \hat{n}\|q\|\sin(\varphi)\,.</math>

== Funksionet e një ndryshoreje kuaternion ==
[[Skeda:Quaternion_Julia_x=-0,75_y=-0,14.jpg|parapamje| Bashkësitë Julia dhe Mandelbrot mund të zgjerohen në kuaternione, por ato duhet të përdorin seksione tërthore për t'u dhënë vizualisht në 3&nbsp;dimensionet. Kjo bashkësi Julia është i prerë në rrafshin {{mvar|x y}} .]]
Ashtu si funksionet e një [[Analiza komplekse|ndryshoreje komplekse]], funksionet e një ndryshoreje kuaternione sugjerojnë modele të dobishme fizike. Për shembull, fushat origjinale elektrike dhe magnetike të përshkruara nga Maksuelli ishin funksione të një ndryshoreje kuaternione. Shembuj të funksioneve të tjera përfshijnë shtrirjen e bashkësisë Mandelbrot dhe bashkësive Julia në hapësirën 4-dimensionale. <ref>{{Cite web |title=[no title cited] |url=http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf |access-date=19 gusht 2018 |website=bridgesmathart.org |series=archive}}</ref>

=== Funksionet eksponenciale, logaritme dhe fuqi ===
Duke pasur parasysh një kuaternion,

<math display="block">q=\|q\|e^{\hat{n}\varphi} = \|q\| \left(\cos(\varphi) + \hat{n} \sin(\varphi)\right),</math>

dhe logaritmi është <ref name="Särkkä2007">{{Cite web |last=Särkkä |first=Simo |date=28 qershor 2007 |title=Notes on Quaternions |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20170705123142/http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |archive-date=5 korrik 2017 |website=Lce.hut.fi}}</ref>

Nga kjo rrjedh se zbërthimi polar i një kuaternoni mund të shkruhet si:

<math display="block">q=\exp{(\hat{n}\varphi)}.</math>

ku [[këndi]] <math>\varphi</math> {{Efn|Books on applied mathematics, such as Corke (2017)<ref>{{cite book |title=Robotics, Vision, and Control – Fundamental Algorithms in MATLAB |last=Corke |first=Peter |publisher=[[Springer Publishing|Springer]] |year=2017 |isbn=978-3-319-54413-7}}</ref> often use different notation with {{math|''φ'' :{{=}} {{sfrac|1|2}}''θ''}} — that is, [[change of variables|another variable]] {{math|''θ'' {{=}} 2''φ''}}.|name="θ"}}

<math display="block">q^x = \|q\|^x e^{\hat{n} x \varphi} = \|q\|^x \left(\cos(x\varphi) + \hat{n}\,\sin(x\varphi)\right)~.</math>

dhe vektori njësi <math>\hat{n}</math> përcaktohet nga:

Çdo kuaternion njësi mund të shprehet në formë polare si:

[[Fuqia (matematikë)|Fuqia]] e një kuaternoni të ngritur në një eksponent arbitrar (real) x jepet nga: