Shih burimin për Mekanika e Lagranzhit

{{NavigationiFizika
|Emri = Mekanika klasike
|Etiketë = <math>\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})</math><br /><small>[[Ligjet e Njutonit#Ligji idytë i Njutonit|Ligji i dytë i Njutonit]]</small>
|KyçItems = [[Historia e mekanikës klasike]]
|Temë1 = Degët
|Items1 = [[Statika]]{{·w}}[[Dinamika analitike|Dinamika]] / [[Kinetika (fizikë)|Kinetika]]{{·w}}[[Kinematika]]{{·w}}[[Mekanika e aplikuar]]{{·w}}[[Mekanika qiellore]]{{·w}}[[Mekanike e vazhduar]]{{·w}}[[Mekanika statistike]]
|Temë2 = Formulimet
|Items2 =
<div style="text-align:left;">
* [[Ligjet e Njutonit|Mekanika Njutoniane]] (Mekanika vektoriale)
* [[Mekanika analitike]]:
** Mekanika e Lagranzhit
** [[Mekanika e Hamiltonit]]</div>
|Temë3 = Konceptet themelore
|Items3 = [[Hapësira]]{{·w}}[[Koha]]{{·w}}[[Shpejtësia]]{{·w}}[[Masa]]{{·w}}[[Nxitimi]]{{·w}}[[Gravitacioni|Graviteti]]{{·w}}[[Forca]]{{·w}}[[Momenti i forcës]] / [[Vrulli]] / [[Çifti i forcave]]{{·w}}[[Impulsi]]{{·w}}[[Impulsi këndor]]{{·w}}[[Inercia]]{{·w}}[[Momenti i inercisë]]{{·w}}[[Këndi i referencës]]{{·w}}[[Energjia]]{{·w}}[[Energjia kinetike#Energjia kinetike Njutoniane|Energjia kinetike]]{{·w}}[[Energjia potenciale]]{{·w}}[[Puna (fizikë)|Puna mekanike]]{{·w}}[[Puna virtuale]]{{·w}}[[Parimi i D'Alembertit]]
|Temë4 = Temat Themelore
|Items4 = [[Trupi i ngurtë]]{{·w}}[[Dinamika e trupit të ngurtë]]{{·w}}[[Lëvizja (fizikë)|Lëvizja]]{{·w}}[[Ligjet e lëvizjes të Njutonit]]{{·w}}[[Ligji gravitacional universal i Njutonit]]{{·w}}[[Ekuacionet e lëvizjes]]{{·w}}[[Këndi inercial i referencës]]{{·w}}[[Këndi jo-inercial i referencës]]{{·w}}[[Kënd reference në rrotullim]]{{·w}}[[Forca fiktive]]{{·w}}[[Zhvendosja (vektor)]]{{·w}}[[Shpejtësia relative]] {{·w}}[[Fërkimi]]{{·w}}[[Lëvizja e thjeshtë harmonike]]{{·w}}[[Oshilatori harmonik]]{{·w}}[[Vibrimi]]{{·w}}[[Shuajtja]]{{·w}}[[Faktori i shuajtes]]{{·w}}[[Rrotullimi rreth një boshti të fiksuar|Lëvizja rrotulluese]]{{·w}}[[Lëvizja këndore]]{{·w}}[[Lëvizja këndore uniforme]]{{·w}}[[Lëvizja këndore e përshpejtuar]]{{·w}}[[Forca centripete]]{{·w}}[[Forca centrifugale]]{{·w}}[[Forca centrifugale (kënd reference rrotullues)]]{{·w}}[[Forca centrifugale reaktive]]{{·w}} [[Efekti i Koriolisit|Forca e Koriolisit]]{{·w}}[[Lavjerrësi]]{{·w}}[[Moduli i shpejtësisë rrotulluese]]{{·w}}[[Nxitimi këndor]]{{·w}}[[Shpejtësia këndore]]{{·w}}[[Frekuenca këndore]]{{·w}}[[Zhvendosja këndore]]
|Temë5 = Shkencëtarët
|Items5 = [[Isaac Newton|Isak Njutoni]]{{·w}}[[Jeremiah Horrocks]]{{·w}}[[Leonhard Euler]]{{·w}}[[Jean le Rond d'Alembert]]{{·w}}[[Alexis Clairaut]]{{·w}}[[Joseph Louis Lagrange]]{{·w}}[[Pierre-Simon Laplace]]{{·w}}[[William Rowan Hamilton]]{{·w}}[[Siméon-Denis Poisson]]
|cTemë={{{cTemë}}}
}}

'''Mekanika e Lagranzhit''' është një  riformulim i [[Mekanika klasike|mekanikes klasike]] që kombinon ligjin e  [[Konservimi i impulsit|konservimit të impulsit]] (vrullit ose sasinë e lëvizjes) me [[Ligji i ruajtjes së energjisë|ligjin e ruajtjes së energjisë]].   Për herë të parë ajo u dha nga [[Joseph Louis Lagrange|Jozef Louiz Lagranzhi]] në [[1788]].  Në mekanikën e  Lagranzhit, trajektorja e sistemit të thërrmijave derivohet duke zgjidhur ekuacionet e  Lagranzhit, të cilat jepen, për secilën nga [[koordinatat e përgjithshme]] të sistemit.  [[Lema themelore e analizës së variacionit]] tregon se zgjedhja e ekuacioneve të Lagranzhit është ekuivalente me gjetjen e shtegut që minimizon [[Veprimi (fizikë)|funksionalin e veprimit]], një madhësi që përcaktohet si [[integrali]] i [[Funksioni i Lagranzhit|funksionit të Lagranzhit]] mbi kohën.

Përdorimi i [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatave të përgjithshme]] e thjeshtëson jashtëzakonisht [[Analiza|analizën]] e një sistemi.  Për shembull, konsideroni një sferë të vogël metalike (në këtë rast e neglizhojmë forcën e fërkimit) që lëviz në një kanal.  Nëqoftëse e cilësojmë sferën si një pikë lëndore, llogaritja e lëvizjes së sferës duke përdorur [[Mekanika e Njutonit|mekanikën e Njutonit]] do të kërkonte që të zgjidhnim për një forcë që ndryshon në kohë e cila në këtë rast do të qe forca që mban sferën në kanal.  Nga ana tjetër për të njëjtin problem në mekanikën e Lagranzhit, ne duhet vetëm të analizojmë trajektoren e kanalit dhe të zgjedhim një set koordinatash të ''pavarura'' që karakterizojnë në mënyrë të plotë lëvizjen e sferës. Kjo zgjedhje eliminon nevojën për të analizuar forcën që vepron mbi trupin.  Në thelb kjo do të thotë që ka më pak ekuacione sepse ne nuk llogarisim në mënyre direkte forcën e kanalit mbi sferën në një moment të caktuar.

== Ekuacionet e  Lagranzhit ==
Ekuacionet e lëvizjes në mekanikën e Lagranzhit quhen ''Ekuacionet e Lagranzhit'', gjithashtu ato njihen si ''[[Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit|Ekuacionet e Ojler–Lagranzhit]]''.  Më poshtë, ne do të japim një derivim të ekuacioneve të Lagranzhit.  Vine re se në këtë kontekst, në vend të U për energjinë potenciale përdore V, dhe T zëvendëson K për energjinë kinetike.  Shikoni referencat për derivime më të detajuara ose më të përgjithshme.

Duke filluar me [[Parimi i D'Alembertit|principin e D'Alembertit]] për [[Puna virtuale|punën virtuale]] të forcave të aplikuara, <math>\mathbf{F}_i</math>, dhe forcës  [[inercia]]le në një sistem joinercial tre dimensional që konsiston prej ''n'' thërrmijash, lëvizja e së cilave është konsistonte me kufizimet që janë vënë mbi sistemin:<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |url=https://archive.org/details/advanceddynamics0000torb |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |language=En |isbn=0-03-063366-4 |chapter=Energy Methods}}</ref>

:<math>\delta W = \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0</math>.
::<math>\delta W</math> është puna virtuale,
::<math>\delta \mathbf r_i</math> është zhvendosja virtuale e sistemit, konsistonte me kufizimet,
::<math>m_i</math> janë masat e thërrmijave të sistemit,
::<math>\mathbf a_i</math> është nxitimi (nxitimet) i thërmijave të sistemit,
::<math>m_i \mathbf a_i</math> së bashku si produkt ato paraqesin derivatet kohore të impulseve të sistemit, pra, forcat inerciale,
::<math>i</math> është një numër që përdoret për të treguar  (përmes një subskripti) një variabël që i korrespondon një thërrmije të caktuar,
::<math>n</math> është një numër thërrmijash nën konsiderate.

Nga dy termat e mëposhtme :

:<math>\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0</math>.

Tani le të hipotezojmë se ekuacionet e mëposhtme të transformimit nga ''m'' [[Koordinatat e përgjithshme|koordinata të përgjithshme]] janë pavarura, <math>q_j</math>, hold:<ref name="Torby1984"/>

:<math>\mathbf{r}_1=\mathbf{r}_1(q_1, q_2, ..., q_m, t)</math>,
:<math>\mathbf{r}_2=\mathbf{r}_2(q_1, q_2, ..., q_m, t)</math>, ...
:<math>\mathbf{r}_n=\mathbf{r}_n(q_1, q_2, ..., q_m, t)</math>.
::<math>m</math> (pa subskript) tregon numrin përgjithshme të [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatave të përgjithshme]].

Një shprehje për [[zhvendosja virtuale|zhvendosjen virtuale]] (diferenciali), <math>\delta \mathbf{r}_i</math>, të sistemit

:<math>\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j</math>.
::<math>j</math> është një numër që përdoret për të treguar (përmes subskriptit) një variabël që i korrespondon një [[Koordinatat e përgjithshme|koordinate të përgjithshme]].

Forcat e aplikuar mund të shprehen në koordinata të përgjithshme si [[Forcat e përgjithshme|forca të përgjithshme]], <math>Q_j</math>,<ref name="Torby1984"/>

:<math>Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j}</math>.

Duke kombinuar ekuacionet per  <math>\delta W</math>, <math>\delta \mathbf{r}_i</math>, dhe <math>Q_j</math> ne marrim rezultatin e mëposhtëm pasi tërheqim shumën jashtë prodhimit skalar nga termi i dyte:<ref name="Torby1984"/>

:<math>\delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j - \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{a}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j = 0</math>.

Duke zëvendësuar me rezultatin nga relacionet e energjisë kinetike në mënyrë që të ndyshojmë forcat inerciale në një funksion të energjisë kinetike ne marrim <ref name="Torby1984"/>

:<math>\delta W = \sum_{j=1}^m Q_j \delta q_j - \sum_{j=1}^m \left ( \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j} \right ) \delta q_j = 0</math>.

Në ekuacionin e mësipërm, <math>\delta q_j</math> është arbitrare,  edhe pse, sipas përcaktimit ajo është konsistonte me kushtet.  Pra relacioni është i vërtetë për çdo term:<ref name="Torby1984"/>

:<math>Q_j = \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j}</math>.

=== Relacioni i energjisë kinetike ===
[[Energjia kinetike]], <math>T</math>, për një sistem thërrmijash përcaktohet nga <ref name="Torby1984"/>

:<math>T = \frac {1}{2} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {v}_i \cdot \mathbf {v}_i</math>.

Derivati pjesor i  <math>T</math> në lidhje me [[derivati kohor|derivatin kohor]]  të koordinatave të përgjithshme, <math>\dot{q}_j</math>, është <ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {v}_i} {\partial \dot{q}_j}</math>.

Rezultati i mëparshëm është paksa i vështirë për tu parë.  Si rezultat i [[rregullit të prodhimit]], derivati i një [[prodhimi skalar]] të përgjithshëm.  
<math>\frac{d}{dx} ( \mathbf{f}(x) \cdot \mathbf{g}(x) )</math> eshte <math>\mathbf{f}(x) \cdot \frac{d}{dx} \mathbf{g}(x) + \mathbf{g}(x) \cdot \frac{d}{dx} \mathbf{f}(x)</math> Ky rezultat i përgjithshëm mund të shikohet duke kaluar në një [[Sistemi koordinativ Kartezian|sistem koordinativ Kartezian]], meqenëse prodhimi skalar atje është vetëm një shumë term-pas-termi , si dhe gjithashtu nga fakti që derivati i shumës është shuma e derivateve.  Në rastin tonë , '''f''' dhe '''g''' janë  të barabarta me '''v''', i cili është shkaku pse faktori një e dyta zhduket.

Sipas [[Rregulli i diferencimit zinxhir|rregullit të diferencimit zinxhir]] si dhe ekuacioneve të transformimit të dhëna më lart <math>\mathbf{r}</math>, derivati i saj kohor, <math>\mathbf{v}</math>, eshte:<ref name="Torby1984"/>

:<math>\mathbf{v}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}</math>.

Së bashku me, përcaktimin e  <math>\mathbf v_i</math> si dhe diferencialin e përgjithshëm, <math>d \mathbf {r}_i</math>, na sugjerojnë që <ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {\partial \mathbf {v}_i}{\partial \dot{q}_j} = \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j}</math>.

[Duhet të kujtoni që : <math> \frac {\partial} {\partial {\dot{q}_k}} {A}{\dot{q}_k} = A </math>, si dhe është më e lehtë të shikosh rezultatin nëqoftëse zëvendësoni sabskriptet <math>j</math> me disa sabskripte të tjera <math>k</math>.  Gjithashtu mbani mënd që në këtë shumë, ekziston vetëm një <math> {\dot{q}_k} </math>. ]

Duke zëvendësuar këtë relacion prapë tek shprehja për derivatin pjesor të <math>T</math> jep<ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf v_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j}</math>.

Po të marrim derivatin kohor kemi <ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \sum_{i=1}^n \left [ m_i \mathbf a_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} + m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} \right ) \right ]</math>.

Duke përdorur rregullin zinxhir <ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} \right ) = \sum_{k=1}^m \frac {\partial^2 \mathbf r_i}{\partial q_j \partial q_k} \dot{q_k} + \frac {\partial^2 \mathbf r_i}{\partial q_j \partial t}</math>.

Nga shprehja për  <math>\mathbf v_i</math>, ne shikojmë se <ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} \right ) = \frac {\partial \mathbf {v}_i}{\partial q_j}</math>.

Kjo lejon thjeshtësimin e termit të fundit ,<ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \sum_{i=1}^n \left [ m_i \mathbf a_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j} + m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {v}_i}{\partial q_j} \right ]</math>.

Derivati pjesor i  <math>T</math> në lidhje me koordinatat e përgjithshme , <math>q_j</math>, është <ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {v}_i \cdot \frac {\partial \mathbf {v}_i} {\partial q_j}</math>.

[Rezultati i fundit mund të merret duke bërë një diferencim pjesor mbi përcaktimin e energjisë kinetike të dhënë nga ekuacioni i parë.]  Dy ekuacionet e fundit mund të kombinohen për të dhënë për focat inerciale ne terma të energjisë kinetike:<ref name="Torby1984"/>

:<math>\frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf a_i \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial q_j}</math>

== Ekuacionet e vjetra të Lagranzhit ==
Konsideroni një thërrmijë të vetme me [[masa|masë]] ''m'' dhe [[Pozicioni|vektor pozicioni]] <math>\mathbf{r}</math>, e cila lëviz nën veprimin e një [[Forca|force]] të aplikuar, <math>\mathbf{F}</math>, e cila mund të shprehet si [[gradienti]] i një funksioni skalar të energjisë potenciale <math>V (\mathbf{r},t)</math>:

:<math>\mathbf{F} = - \mathbf{\nabla} V.</math>

Një forcë e tillë është e pavarur nga derivate të rendit të tretë ose më të larta <math>\bold{r}</math>, kështu që [[Ligjet e Njutonit|ligji i dytë i Njutonit]] formon një bashkësi [[Ekuacione diferenciale ordinere|ekuacionesh diferenciale ordinere]] të rendit të tretë.  Pra, lëvizja e thërrmijës mund të përshkruhet në mënyrë komplete nga 6 variabla të pavarura, të cilat njihen si  ''gradat e lirisë''. Një set variablash është <math>\{ \mathbf{r}_j, \dot{\mathbf{r}}_j | j = 1, 2, 3\}</math>, këto janë komponentet karteziane të  <math>\mathbf{r}</math> dhe derivatet e tyre kohore, në një çast kohor (i.e. pozicioni (x,y,z) dhe shpejtësia  <math>(v_x,v_y,v_z)</math>).

Më përgjithësisht, ne mund të punojmë në një bashkësi [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatash të përgjithshme]], <math>q_j</math>, dhe derivatet e tyre kohore,  [[Koordinatat e përgjithshme#Shpejtësitë e përgjithshme dhe energjia kinetike|shpejtësitë e përgjithshme]], <math>\dot{q_j}</math>. Vektori i pozicionit, <math>\mathbf{r}</math>, lidhet me koordinatat e përgjithshme me anë të ''ekuacioneve të transformimit'':

:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i , q_j , q_k, t).</math>

Për shembull, për një  [[Lavjerrësi i thjeshtë|lavjerrës të thjeshtë]] me gjatësi  ''l'', një zgjedhje logjike për koordinatat e përgjithshme është këndi i lavjerrësit nga vertikalja , θ, për të cilin ekuacionet e transformimit janë

:<math>\mathbf{r}(\theta, \dot{\theta} , t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)</math>.

Termi "[[Koordinatat e përgjithshme|koordinata të përgjithshme]]" ka mbetur nga periudha kur [[Sistemi koordinativ kartezian|koordinatat karteziane]] ishin të vetmet sisteme koordinativ.

Konsideroni një zhvendosje arbitrare  <math>\delta \mathbf{r}</math> të thërrmijës.  [[Puna mekanike|puna]]  e bërë nga nga forca e aplikuar  <math>\mathbf{F}</math> është  <math>W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}</math>. Duke përdorur ligjin e dytë të Njutonit, kemi:

:<math>\begin{matrix}
    \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}  =  m\ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}.
\end{matrix}</math>

Meqë puna është një madhësi fizikë skalare, ne duhet ta rishkruajmë këtë ekuacion në terma të koordinatave të përgjithshme dhe shpejtësive. Në anën e majte,

:<math>
  \begin{matrix}
    \mathbf{F} \cdot \mathbf{\delta} \mathbf{r}
      & = & - \mathbf{\nabla} V \cdot \displaystyle\sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \displaystyle\sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \displaystyle\sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\
  \end{matrix}
</math>

Në anën e  djathtë, duke bërë një ndryshim koordinatash, marrim :

<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_{i,j} \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \delta q_j </math>

Duke bërë një rirregullim të shprehjes kemi :

<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} =  m \sum_j \left[ \sum_i \ddot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right] \delta q_j </math>

Tani, aplikojmë teknikën e integrimit me pjesë në "lidhje"  me t :

<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial r_i \over \partial q_j} \right)  - \dot{r_i} {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}\left(   {\partial r_i \over \partial q_j} \right)      \right] \right] \delta q_j </math>

Duke njohur faktin që  <math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial q_i}</math> dhe <math>{\partial r_j \over \partial q_i} = {\partial \dot{r_j} \over \partial \dot{q_i}}</math>, marrim:

<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}   \left(  \dot{r_i} {\partial \dot{r_i} \over \partial \dot{q_j}} \right)  - \dot{r_i}   {\partial \dot{r_i} \over \partial q_j}       \right] \right] \delta q_j </math>

Tani, duke ndryshuar rendin e diferencimit, marrim :

<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = m \sum_j \left[ \sum_i \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \frac{1}{2} \dot{r_i}^2 \right)   \right] \right] \delta q_j </math>

Me në fund, pasi ndryshojmë rendin e shumimit kemi :

<math>m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_j \left[  {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}  {\partial \over \partial \dot{q_j}} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2  \right) -  {\partial \over \partial q_j} \left( \sum_i \frac{1}{2} m \dot{r_i}^2 \right) \right] \delta q_j </math>

E cila është ekuivalente me :

:<math>
  m \ddot{\mathbf{r}} \cdot \delta \mathbf{r}
= \sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial T \over \partial \dot{q_i}}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i
</math>

ku  <math>T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}}</math> është energjia kinetike e thërrmijës.  Ekuacioni i punës tani është i formës
:<math>
\sum_i \left[{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]
\delta q_i = 0.
</math>

Megjithatë , kjo duhet të jetë e vërtete për  ''çdo'' set zhvendosjesh të përgjithshme <math>\delta q_i</math>, kështu që kemi

:<math>
\left[ {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{T}\over \partial{\dot{q_i}}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0
</math>

Ku për ''çdo'' koordinatë të përgjithshme <math>\delta q_i</math>. Mund ta thjeshtojmë edhe me tej duke vëryer që  ''V'' është një  funksion vetëm i '''r''' dhe ''t'', dhe '''r''' është një funksion i koordinatave të përgjithshme dhe  ''t''.  Pra, ''V'' është e pavarur nga shpejtësitë e përgjithshme :

:<math>
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{V}\over \partial{\dot{q_i}}} = 0.
</math>

Duke zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëparshëm ''L'' = ''T'' - ''V'', të quajtur funksioni Lagranzhian, ne marrim ekuacionet e Lagranzhit :

:<math>
{\partial{\mathcal{L}}\over \partial q_i} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{\mathcal{L}}\over \partial{\dot{q_i}}}.
</math>

Siç shikoni ekziston nga një ekuacion Lagranzhi për çdo koordinatë të përgjithshme q<sub>i</sub>. Kur q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (pra, kur koordinatat e përgjithshme janë thjesht koordinata Karteziane), është shumë e thjesht dhe e qartë fakti që ekuacionet e Lagranzhit reduktohen në ato të ligjit të dytë të Njutonit.

Derivimi i mësipërm mund të përgjithësohet për një sistem me ''N'' thërrmija.  Në atë rast kemi 6''N'' koordinata të përgjithshme, që lidhen me koordinata e pozicionit nga  3''N''  ekuacione transformimi. Në secilën nga 3''N'' ekuacionet e Lagranzhit, ''T'' është energjia kinetike totale e sistemit, dhe ''V'' është energjia totale potenciale.

Në praktikë, është shumë më e lehtë të përdoresh [[Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit|ekuacionet e Ojler–Lagranzhit]] sesa ato të Njutonit.  Kjo është sepse të parat lejojnë që ne të zgjedhim çfarëdo lloj koordinatash të përgjithshme 'q''<sub>i</sub> në mënyre që të shfrytëzojmë simetritë e sistemit.

== Shembuj ==
Në këtë seksion ne japim dy shembuj të cilat shpjegojnë se si aplikohen konceptet e mëlartme.  Shembulli i pare tregon për një rast të thjeshtë që formalizmi Lagranzhian dhe ai Njutonian punojnë njësoj. Shembulli i dyte tregon fuqinë e vërtete te formalizmit të mëlartëm, për një rast që është shume i vështirë që të zgjidhet me metodën Njutoniane.

=== Rënia e lirë e një pikë lëndore ===
Konsideroni një pikë lëndore me mase ''m'' që kryen rënie të lirë nga prehja. Nga graviteti një forcë ''F = m g'' ushtrohet mbi masën (duke marrë parasysh se ''g'' është konstante).  Po të zëvendësojmë forcën në ligjin e dytë të Njutonit, gjejmë <math>\ddot x = g</math> prej nga zgjidhja është
:<math>x(t) = \frac{1}{2} g t^2</math>

(nëqoftëse zgjedhim origjinën në pikën fillestare). Ky rezultat mund të derivohet edhe nga formalizmi i  Lagranzhit. Le të jetë ''x'' koordinata , e cila është  ''0'' në pikën fillestare. Energjia kinetike është <math>T = \frac{1}{2} m v^2</math> ndërsa ajo potenciale është <math>V = - m g x</math>, pra 
:<math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x</math>. 
Tani kemi 
:<math>0 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} = m g - m \frac{\mathrm{d} \dot x}{\mathrm{d} t} </math>
e cila mund të rishkruhet si  <math>\ddot x = g</math>, kjo jep të njëjtin rezultat si më parë.

=== Lavjerrësi në një platformë lëvizëse ===
Konsideroni një lavjerrës me masë ''m'' dhe gjatësi ''l'', i cili është i varur në një suport me masë  ''M'' e cila mund të lëvizë përgjatë një vijë në drejtimin e ''x''. Le  të jetë ''x'' koordinata përgjatë vijës së suportit, dhe le të japim pozicionin e lavjerrësit me anë të një këndi ''θ'' të matur nga vertikalja. Energjia kinetike mund të tregohet që është 
:<math>T = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}_\mathrm{pend}^2 + \dot{y}_\mathrm{pend}^2 \right) = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[ \left( \dot x + l \dot\theta \cos \theta \right)^2 + \left( l \dot\theta \sin \theta \right)^2 \right], </math>
Ndërsa ajo [[energjia potenciale]] e sistemit është
:<math> V = m g \operatorname{y}_\mathrm{pend} = - m g l \cos \theta . </math>

[[Skeda:pendulumWithMovableSupport.svg|thumb|right|Skeç i situatës me përcaktimin e koordinatave (kliko që ta zmadhosh)]]
Tani po të bëjme diferencimin për koordinatën e suportit  ''x''
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ (M + m) \dot x + m l \dot\theta \cos\theta \right] = 0, </math>
pra:
:<math>  (M + m) \ddot x + m l \ddot\theta\cos\theta-m l \dot\theta ^2 \sin\theta = 0 </math>
Tregon prezencën e një konstanteje të lëvizjes. Variabla tjetër jep
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( l^2 \dot\theta + \dot x l \cos\theta ) \right] + m (\dot x l \dot \theta + g l) \sin\theta = 0</math>;
pra
:<math>\ddot\theta + \frac{\ddot x}{l} \cos\theta + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 </math>.
Këto ekuacione mund të duken shumë të komplikuara, por për ti gjetur ato me metodën e Njutonit ne duhet qe të identifikojmë të gjitha forcat, gjë e cila jo vetëm është e vështirë por le edhe shteg për gabime. Duke konsideruar rastet limit (<math>\ddot x \to 0</math> duhet të japë ekuacionet e lëvizjes për një lavjerrës, <math>\ddot\theta \to 0</math> duhet të japë ekuacionet për lavjerrësin në një sistem që me nxitim konstant.) Korrektësia e këtij sistemi mund të verifikohet.

== Principi i Hamiltonit ==
{{main|Principi i Hamiltonit}}
Veprimi, jepet nga <math>\mathcal{S}</math>, ky është integrali kohor i funksionit Lagranzhian:
:<math>\mathcal{S} = \int \mathcal{L}\,\mathrm{d}t.</math>

Le të jenë ''q<sub>0</sub>'' dhe ''q<sub>1</sub>'' koordinatat në kohët fillestare dhe përfundimtare respektivisht, pra ''t<sub>0</sub>'' dhe ''t<sub>1</sub>''. Duke përdorur [[analiza e variacionit|analizën e variacionit]], mund të tregohet se ekuacionet e Lagranzhit janë ekuivalente me ''[[Principi i Hamiltonit|principin e Hamiltonit]]'':

:''Sistemi kalon në atë trajektore midis t<sub>0</sub> dhe t<sub>1</sub> veprimi i së cilës merr një vlerë stacionare.''

Fjala ''stacionare'', do të thotë që veprimi nuk ndyshon në rend të parë për deformime infinitezimale të trajektores, me pikat kufitare (''q<sub>0</sub>'', ''t<sub>0</sub>'') dhe (''q<sub>1</sub>'',''t<sub>1</sub>'') të fiksuara. Principi i Hamiltonit mund të shkruhet si:

:<math>\delta \mathcal{S} = 0. \,\!</math>

Pra,në vend që të mendojmë për thërrmijat e nxituara si grimca që u përgjigjen forcave që aplikohen mbi to, ne mund të mendojmë mbi to si grimca që marrin trajektoren ku veprimi është stacionar.

Principi i Hamiltonit ndonjëherë referohet si ''[[Principi i Hamiltonit|parimi i veprimit minimal]]''. Tani kjo në të vërtetë është një abuzim i fjalorit: veprimi duhet vetëm që të jetë stacionar, po u plotësua ky kusht trajektorja e vërtetë mund të prodhojë një maksimum, [[pikë infleksioni]], ose një minimum mbi veprimin.

Mund të përdorim këtë parim në vend të [[Ligjet e Njutonit|ligjeve të Njutonit]] si parim themelor të mekanikës, kjo na lejon neve të përdorim një parim integral (Ligjet e Njutonit janë të bazuara në ekuacione diferenciale kështu që ato janë parime diferenciale) si bazë për mekanikën. Megjithatë, për fat të keq në tekste nuk thuhet qe principi i Hamiltonit është një princip variacioni i vlefshëm vetëm për [[kondita holonome|kondita holonomike]], nëqoftëse merremi me sisteme joholonome atëherë principi i variacionit duhet zëvendësuar me principin e [[D’Alembert|d'Alembertit]] për [[puna virtuale|punën virtuale]] . Përdorimi i kësaj metode elegante të formulimit variacional të mekanikës është çmimi që duhet të paguajmë kur studiojmë vetëm sisteme me kondita holonomike.

== Zgjerimi i mekanikës së Lagranzhit ==
[[Mekanika e Hamiltonit|Funksioni Hamiltonian]], i dhënë nga ''H'', merret duke zbatuar [[Transformimi i Lazhandrit|transformimin e Lazhandrit]] mbi funksionin Lagranzhian. Funksioni Hamiltonian është baza për një formulim alternativ të mekanikës klasike që njihet si [[mekanika e Hamiltonit]]. Duhet thënë se ky funksion është një madhësi që haset tepër në [[Mekanika kuantike|mekanikën kuantike]] (Shikoni [[Funksioni Hamiltonian (mekanika kuantike)]]).

Në [[1948]], [[Richard Feynman|Fajmani]] shpiku [[Formulimi i integralit të shtegjeve|formulimin e integralit të shtegjeve]] duke e zgjeruar [[Principi i Hamiltonit|principin e veprimit minimal]] në [[Mekanika kuantike|mekanikën kuantike]] për [[Elektroni|elektronet]] dhe [[Fotoni|fotonet]]. Në këtë formulim, thërrmijat udhëtojnë në çdo shteg të mundshëm midis gjendjes fillestare dhe përfundimtare; probabiliteti i gjendjes finale merret duke integruar mbi të gjitha trajektoret e mundshme. Në rrëgjimin klasik, formulim i integralit të shtegjeve jep principin e Hamiltonit, si dhe [[Parimi i Fermat|principin e Fermat]] në [[Optika|optikë]].

== Shiko gjithashtu ==
* [[Problemi i tre-trupave]]
* [[Mekanika e Hamiltonit]]
* [[Derivati funksional]]
* [[Forma e Nilsenit]]
* [[Koordinatat kanonike]]
* [[Koordinatat e përgjithshme]]
* [[Analiza e Lagranzhit]] (aplikime te mekanikes se Lagranzhit)

== Referime ==

* Goldstein, H. ''Classical Mechanics,'' second edition, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)
* Moon, F. C. ''Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems'', pp. 103-168 (Wiley, 1998).

<references />

== Lexime te metejshme ==

* [[Lev Landau|Landau, L.D.]] and [[Evgeny Lifshitz|Lifshitz, E.M.]] ''Mechanics'', Pergamon Press.
* Gupta, Kiran Chandra, ''Classical mechanics of particles and rigid bodies'' (Wiley, 1988).

== Lidhje te jashtme ==
* Tong, David, [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] Cambridge lecture notes
* [http://www.eftaylor.com/software/ActionApplets/LeastAction.html Principle of least action interactive] Excellent interactive explanation/webpage
* [http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Aeronautics-and-Astronautics/16-61Aerospace-DynamicsSpring2003/D453E02B-5218-4154-8531-DB35ECD76A6C/0/lecture9.pdf Aerospace dynamics lecture notes on Lagrangian mechanics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080527230500/http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Aeronautics-and-Astronautics/16-61Aerospace-DynamicsSpring2003/D453E02B-5218-4154-8531-DB35ECD76A6C/0/lecture9.pdf |date=27 maj 2008 }}
* [http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Aeronautics-and-Astronautics/16-61Aerospace-DynamicsSpring2003/53F21B11-4F88-4870-967A-0C05AD85B104/0/lecture10.pdf Aerospace dynamics lecture notes on Rayleigh dissipation function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080527230459/http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Aeronautics-and-Astronautics/16-61Aerospace-DynamicsSpring2003/53F21B11-4F88-4870-967A-0C05AD85B104/0/lecture10.pdf |date=27 maj 2008 }}

[[Kategoria:Fizikë]]
[[Kategoria:Mekanikë klasike]]
[[Kategoria:Mekanikë]]
[[Kategoria:Mekanika e Lagranzhit]]