Shih burimin për Mosbarazimi Hermite-Hadamard

Në [[Matematika|matematikë]], '''mosbarazimi Hermite-Hadamard''', i quajtur pas Charles Hermite dhe Jacques Hadamard dhe ndonjëherë i quajtur edhe '''mosbarazimi i Hadamardit''', thotë se nëse një funksion <math>f : [a,b] \mapsto \R</math> është konveks, atëherë qëndron zinxhiri i mëposhtëm i mosbarazimeve:

: <math> f\left( \frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \le \frac{f(a) + f(b)}{2}. </math>

Mosbarazimi është përgjithësuar në dimensione më të larta: nëse <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> është një fushë e kufizuar, konvekse dhe <math>f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> është një funksion konveks pozitiv, atëherë

: <math> \frac{1}{|\Omega|} \int_\Omega f(x) \, dx \leq \frac{c_n}{|\partial \Omega|} \int_{\partial \Omega} f(y) \, d\sigma(y) </math>

ku <math> c_n </math> është një konstante në varësi vetëm nga dimensioni.

== Një përfundim mbi integralet e tipit Vandermonde ==
Supozoni se <math>- \infty < a < b < \infty</math>, dhe zgjidhni n vlera të dallueshme <math>\{x_j \}_{j=1}^{n}</math> nga <math>(a,b)</math> . Le të jetë <math>f:[a,b] \mapsto \R</math> konveks, dhe le shënojmë me <math>I</math>  veprimin "integralin që fillon nga a " ; kjo është,

: <math>(If)(x)=\int_a^x{f(t)\,dt}</math> .

Pastaj,

: <math>\sum_{i=1}^n \frac {(I^{n-1}F)(x_i)}{\prod_{j\neq i}{(x_i-x_j)}}\leq \frac {1}{n!} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math>

Barazia vlen për të gjitha <math>\{ x_j \}^n_{j=1}</math> nëse <math>f</math> është linear, dhe për të gjitha <math>f</math> nëse <math>\{ x_j \}^n_{j=1}</math> është konstante, në kuptimin që

: <math> \lim_{\{x_j\}_j\to\alpha}{\sum_{i=1}^n \frac {(I^{n-1}F)(x_i)}{\prod_{j\neq i}{(x_i-x_j)}}}=\frac{f(\alpha)}{(n-1)!}</math>

Rezultati vjen nga induksioni për <math>n</math> .