Shih burimin për Pozicioni (gjeometri)


[[Skeda:Radius_vector_-_position_vector_-_ortsvektor_-_radijvektor.svg|parapamje| Vektori i rrezes <math>\vec{r}</math> paraqet pozicionin e një pike <math>\mathrm{P}(x,y,z)</math> në lidhje me origjinën O. Në sistemin koordinativ kartezian <math>\vec{r}=x\,\hat{e}_x+y\,\hat{e}_y+z\,\hat{e}_z.</math>]]
Në [[Gjeometria|gjeometri]], një '''vektor''' '''pozicioni''' ose '''pozicioni''', i njohur gjithashtu si '''vektori i vendndodhjes''' ose '''vektori i rrezes''', është një [[Vektori|vektor Euklidian]] që përfaqëson një [[Pika (gjeometri)|pikë]] ''P'' në [[Hapësira|hapësirë]] . Gjatësia e saj përfaqëson largësinë në lidhje me një [[Origjina (matematika)|origjinë]] reference ''O'', dhe [[Drejtimi (gjeometria)|drejtimi]] i saj përfaqëson orientimin këndor në lidhje me boshtet e dhëna referuese. Zakonisht shënohet '''x''', '''r''' ose '''s''', ai përkon me segmentin e vijës së drejtë nga ''O'' në ''P.'' Me fjalë të tjera, është [[Zhvendosja (fizikë)|zhvendosja]] ose [[Përkthim (gjeometri)|përkthimi]] që harton origjinën në ''P'' : <ref>The term ''displacement'' is mainly used in mechanics, while ''translation'' is used in geometry.</ref>

: <math>\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}.</math>

Termi '''vektor i pozicionit''' përdoret më së shumti në fushën e [[Gjeometria diferenciale|gjeometrisë diferenciale]], [[Mekanika|mekanikës]] dhe herë pas here [[Llogaritja vektoriale|llogaritjes vektoriale]] . Shpesh kjo përdoret në hapësirën [[Hapësira dy-dimensionale|dy-dimensionale]] ose [[Hapësira tre-dimensionale|tre-dimensionale]], por mund të përgjithësohet lehtësisht në [[Hapësira Euklidiane|hapësirat Euklidiane]] dhe [[Hapësirë affine|hapësirat afine]] të çdo [[përmasa|dimensioni]] . <ref name="phys_keller">Keller, F. J., Gettys, W. E. et al. (1993), p.&nbsp;28–29.</ref>

== Pozicioni relativ ==
'''Vendndodhja relative''' e një pike ''Q'' në lidhje me pikën ''P'' është vektori Euklidian që rezulton nga zbritja e dy vektorëve të vendndodhjes absolute (secili në lidhje me origjinën):

: <math>\Delta \mathbf{\hat{r}}=\Delta \mathbf{r} / \|\Delta \mathbf{r}\|,</math>

ku <math>\mathbf{s}=\overrightarrow{OQ}</math> .

'''Drejtimi relativ''' midis dy pikave është vendndodhja e tyre relative e normalizuar si një vektor njësi :

: <math>\Delta \mathbf{r}=\mathbf{s} - \mathbf{r}=\overrightarrow{PQ},</math>

ku emëruesi është largësia midis dy pikave, <math>\| \Delta \mathbf{r} \|</math> . Një drejtim relativ është një [[Vektori|vektor i lidhur]], në ndryshim nga një [[Drejtimi (gjeometria)|drejtim]] i zakonshëm, i cili është një [[Vektori|vektor i lirë]] .

== Përkufizimi dhe përfaqësimi ==

=== Tre dimensione ===
[[Skeda:Space_curve.svg|parapamje| [[Lakorja|Kurba e hapësirës]] në 3D. [[Vektori i pozicionit]] '''r''' është i parametrizuar nga një skalar ''t'' . Në '''r''' = '''a''', vija e kuqe është tangjentja e lakores dhe rrafshi blu është normal me lakoren.]]
Në [[Hapësira tre-dimensionale|tre dimensione]], çdo grup koordinatash tre-dimensionale dhe vektorët e tyre bazë përkatës mund të përdoren për të përcaktuar vendndodhjen e një pike në hapësirë - mund të përdoret cilado që është më e thjeshta për detyrën në fjalë.

Zakonisht, përdoret [[Sistemi koordinativ kartezian|sistemi i njohur i koordinatave Kartezian]], ose nganjëherë [[Sistemi koordinativ sferik|koordinatat polare sferike]], ose [[Sistemi koordinativ polaro-cilindrik|koordinatat cilindrike]] :

: <math> \begin{align} 
 \mathbf{r}(t) 
 & \equiv \mathbf{r}(x,y,z) \equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_x + y(t)\mathbf{\hat{e}}_y + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z \\
 & \equiv \mathbf{r}(r,\theta,\phi) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\theta(t), \phi(t)\big) \\
 & \equiv \mathbf{r}(r,\phi,z) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\phi(t)\big) + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z, \\
\end{align}</math>

ku ''t'' është një [[Ekuacioni parametrik|parametër]], për shkak të simetrisë së tyre drejtkëndore ose rrethore. Këto koordinata të ndryshme dhe vektorë bazë përkatës përfaqësojnë të njëjtin vektor pozicioni. Në vend të kësaj mund të përdoren më shumë [[Koordinatat kurvilineare|koordinata vijëpërkulura]] të përgjithshme dhe janë në kontekste si [[mekanika e vazhdimësisë]] dhe [[relativiteti i përgjithshëm]] (në rastin e fundit nevojitet një koordinatë shtesë kohore).

== Zbatimet ==

=== Gjeometria diferenciale ===
[[Fusha vektoriale|Fushat vektoriale]] të vendndodhjes përdoren për të përshkruar kurbat e hapësirës të vazhdueshme dhe të diferencueshme, në të cilin rast parametri i pavarur nuk duhet të jetë koha, por mund të jetë (p.sh.) gjatësia e harkut të kurbës.

=== Mekanika ===
Në çdo [[Ekuacionet e lëvizjes|ekuacion të lëvizjes]], vektori i vendndodhjes '''r''' ( ''t'' ) është zakonisht madhësia më e kërkuar, sepse ky funksion përcakton lëvizjen e një grimce (dmth. një [[Masa e pikës|pike materiale]] ) - vendndodhjen e saj në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ në një kohë ''t'' .

Për të përcaktuar lëvizjen në terma të pozicionit, secila koordinatë mund të parametrizohet sipas kohës; meqenëse çdo vlerë e njëpasnjëshme e kohës korrespondon me një sekuencë të vendndodhjeve hapësinore të njëpasnjëshme të dhëna nga koordinatat, kufiri i vazhdimësisë së shumë vendndodhjeve të njëpasnjëshme është një shteg që gjurmon grimca.

== Derivatet ==
[[Skeda:Kinematics.svg|parapamje| Madhësitë kinematike të një grimce klasike: masë&nbsp;''m'', pozicion&nbsp;'''r''', shpejtësi&nbsp;'''v''', nxitim&nbsp;'''a''']]
Për një vektor pozicioni '''r''' që është funksion i kohës ''t'', [[Derivati i kohës|derivatet e kohës]] mund të llogariten në lidhje me ''t'' . Këto derivate kanë dobi të përbashkët në studimin e [[Kinematika|kinematikës]], [[Teoria e kontrollit|teorisë së kontrollit]], [[Inxhinieria|inxhinierisë]] dhe shkencave të tjera.

; [[Shpejtësia (fizikë)|Shpejtësia]]
: <math>\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t},</math>
: ku d '''r''' është një zhvendosje [[Diferencial (pafundësisht i vogël)|pafundësisht]] e vogël [[Zhvendosja (fizikë)|(vektor)]] .
; [[Nxitimi]]
: <math>\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}.</math>
; [[Tund (fizikë)|Hovi]]
: <math>\mathbf{j} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}.</math>