Shih burimin për Shpërndarja Irwin–Hall

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Shpërndarja Irwin–Hall|type=density|pdf_image=[[Image:irwin-hall-pdf.svg|276px|Probability mass function for the distribution]]|cdf_image=[[Image:irwin-hall-cdf.svg|276px|Cumulative distribution function for the distribution]]|parameters=''n'' ∈ [[Numrat natyrorë|'''N'''<sub>0</sub>]]|support=<math>x \in [0,n]</math>|pdf=<math>\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^{n-1}</math>|cdf=<math>\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^n</math>|mean=<math>\frac{n}{2}</math>|median=<math>\frac{n}{2}</math>|mode=<math>\begin{cases}
                  \text{çdo vlerë në } [0,1]  & \text{për } n=1   \\
                  \frac{n}{2}              & \text{përndryshe}
                \end{cases}</math>|variance=<math>\frac{n}{12}</math>|skewness=0|kurtosis=<math>-\tfrac{6}{5n}</math>|entropy=|mgf=<math>{\left(\frac{\mathrm{e}^t-1} t\right)}^n</math>|char=<math>{\left(\frac{\mathrm{e}^{it}-1}{it}\right)}^n</math>}}

Në [[Probabiliteti|probabilitet]] dhe [[Statistika|statistikë]], '''shpërndarja Irwin–Hall''', e emërtuar sipas Joseph Oscar Irwin dhe Philip Hall, është një shpërndarje probabiliteti për një [[Ndryshorja e rastit|ndryshore të rastit]] të përcaktuar si shuma e një numri ndryshoresh rasti të pavarura, secila prej të cilave ka një shpërndarje uniforme .  Për këtë arsye njihet edhe si '''shpërndarja uniforme e shumës''' .

Kjo shpërndarje ndonjëherë ngatërrohet me [[Shpërndarja e Bates|shpërndarjen Bates]], e cila është '''mesatarja''' (jo '''shuma''' ) e ''n'' ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1.

== Përkufizimi ==
Shpërndarja Irwin–Hall është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit për shumën e ''n''  ndryshoreve rasti të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike U<nowiki><i id="mwIg">(</i></nowiki> 0,<nowiki><span typeof="mw:Entity" id="mwIw">&</nowiki>nbsp;<nowiki></span></nowiki>1) :

: <math>
X = \sum_{k=1}^n U_k.
</math>

[[Funksioni i dendësisë së probabilitetit|Funksioni i dendësisë të probabilitetit]] (pdf) për <math>0\leq x\leq n</math> jepet nga

: <math>
f_X(x;n)=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k} (x-k)_+^{n-1}
</math>

== Përafrimi i një shpërndarjeje normale ==
Me [[Teorema e kufirit qendror|Teoremën Qendrore Limite]], ndërsa ''n'' rritet, shpërndarja Irwin-Hall përafron gjithnjë e më shumë një [[Shpërndarja normale|shpërndarje normale]] me mesataren <math>\mu=n/2</math> dhe variancë <math>\sigma^2=n/12</math> . Për të përafruar shpërndarjen standarde Normale <math>\phi(x)=\mathcal{N}(\mu=0, \sigma^2=1)</math>, shpërndarja Irwin–Hall mund të përqendrohet duke e zhvendosur atë me mesataren e saj prej ''n/2'', dhe duke e shkallëzuar rezultatin me rrënjën katrore të variancës së saj:

: <math>
\phi(x) \overset{n\gg 0}{\approx} \sqrt{\frac{n}{12}} f_X\left(x\sqrt{\frac{n}{12}}+\frac{n}{2};n \right )
</math>