Shih burimin për Shpërndarja Poisson

{{Infobox shpërndarja e gjasës|name=Shpërndarja Poisson|type=mass|pdf_image=[[File:poisson pmf.svg|325px]]|cdf_image=[[File:poisson cdf.svg|325px]]|parameters=<math>\lambda\in (0, \infty)</math>  (rate)|support=<math>k \in \mathbb{N}_0</math> ([[Numrat natyrorë]] duke filluar nga &nbsp;0)|pdf=<math>\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>|cdf=<math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)}{\lfloor k \rfloor !},</math> ose <math>e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^j}{j!},</math> ose <math>Q(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)</math>
(për <math>k \ge 0,</math> ku <math>\Gamma(x, y)</math> është [[Funksioni Gama|funksioni gama]] i paplotë i sipërm, <math>\lfloor k \rfloor</math> është [[Funksionet dysheme dhe tavan|funksioni dysheme]], dhe <math>Q</math> është [[Funksioni Gama|funksioni gama]] i rregullarizuar)|mean=<math>\lambda</math>|median=<math>\approx\left\lfloor\lambda + \frac{1}{3} - \frac{1}{50 \lambda} \right\rfloor</math>|mode=<math>\left\lceil \lambda \right\rceil - 1, \left\lfloor \lambda \right\rfloor</math>|variance=<math>\lambda</math>|skewness=<math>\frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>|kurtosis=<math>\frac{1}{\lambda}</math>|entropy=<math>\lambda\Bigl[1 - \log(\lambda)\Bigr] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}</math>
&emsp; ose për <math>\lambda</math> të mëdha &emsp;
<math>\begin{align}\approx\frac{1}{2}\log\left( 2 \pi e \lambda \right) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} \\- \frac{19}{360 \lambda^3} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{\lambda^4}\right)\end{align}</math>|mgf=<math>\exp \left[\lambda \left( e^{t} - 1 \right)\right]</math>|char=<math>\exp \left[\lambda \left( e^{it} - 1 \right)\right]</math>|fisher=<math>\frac{1}{\lambda}</math>}}

Në [[Teoria e probabilitetit|teorinë e probabilitetit]] dhe [[Statistika|statistikë]], '''shpërndarja Poisson''' ose '''Puason''' është një shpërndarje diskrete probabiliteti që shpreh probabilitetin që një numër i caktuar ngjarjesh të ndodhin në një interval të caktuar kohe ose hapësire nëse këto ngjarje ndodhin me një normë mesatare të njohur konstante dhe pavarësisht kohës që nga ngjarja e fundit. Është emëruar sipas matematikanit [[Franca|francez]] Siméon Denis Poisson ( {{IPA-fr|pwasɔ̃}} ). Shpërndarja Puason mund të përdoret gjithashtu për numrin e ngjarjeve në lloje të tjera të intervalit të specifikuar si largësia, sipërfaqja ose vëllimi. Ai luan një rol të rëndësishëm për shpërndarjet diskrete-të qëndrueshme .

Për shembull, një qendër thirrjesh merr mesatarisht 180&nbsp;thirrje në orë, 24&nbsp;orë në ditë. Thirrjet janë të pavarura; marrja e njërit nuk e ndryshon probabilitetin se kur do të arrijë tjetri. Numri i thirrjeve të marra gjatë çdo minutë ka një shpërndarje probabiliteti Puason me mesataren 3: numrat më të mundshëm janë 2 dhe 3, por 1 dhe 4 janë gjithashtu të mundshëm dhe ka një probabilitet të vogël që të jetë deri në zero dhe një probabilitet shumë i vogël. mund të jetë 10.

Një shembull tjetër është numri i ngjarjeve të zbërthimit që ndodhin nga një burim radioaktiv gjatë një periudhe të caktuar vëzhgimi.

== Historia ==
Shpërndarja u paraqit për herë të parë nga Siméon Denis Poisson (1781-1840) dhe u botua së bashku me teorinë e tij të probabilitetit në veprën e tij ''Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile'' (1837). [2] Puna teorizoi për numrin e dënimeve të gabuara në një vend të caktuar duke u fokusuar në disa [[Ndryshorja e rastit|ndryshore rasti]] ''N'' që numërojnë, ndër të tjera, numrin e dukurive diskrete (ndonjëherë të quajtura "ngjarje" ose "ardhje") që ndodhin gjatë një [[Koha|kohe]] - intervali i gjatësisë së dhënë. Rezultati ishte dhënë tashmë në 1711 nga [[Abraham de Moivre]] në ''De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus'' . Kjo e bën atë një shembull të ligjit të Stiglerit dhe ka nxitur disa autorë të argumentojnë se shpërndarja Poisson duhet të mbajë emrin e de Moivre. 

== Përkufizimet ==

=== Funksioni i masës së probabilitetit ===
Një [[Ndryshorja e rastit|ndryshore rasti diskrete]] X thuhet se ka një shpërndarje Poisson, me parametër <math>\lambda>0,</math> nëse ka një [[Funksioni i masës së probabilitetit|funksion mase probabiliteti]] të dhënë nga: [11] 

: <math>f(k; \lambda) = \Pr(X{=}k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},</math>

ku

* k është numri i ndodhive (<math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>)
* e është [[Numri e|numri i Eulerit]] (<math>e = 2.71828\ldots</math>)
* !  është [[Faktoriali|funksioni faktorial]].

[[Numrat realë|Numri real]] pozitiv λ është i barabartë me [[Pritja matematike|vlerën e pritur]] të X dhe gjithashtu me [[Varianca|variancën]] e tij. <ref>For the proof, see:
[[proofwiki:Expectation of Poisson Distribution|Proof wiki: expectation]] and [[proofwiki:Variance of Poisson Distribution|Proof wiki: variance]]</ref>

: <math>\lambda = \operatorname{E}(X) = \operatorname{Var}(X).</math>

Shpërndarja Poisson mund të aplikohet në sisteme me një numër të madh ngjarjesh të mundshme, secila prej të cilave është e rrallë . Numri i ngjarjeve të tilla që ndodhin gjatë një intervali kohor të caktuar është, në rrethanat e duhura, një numër i rastësishëm me një shpërndarje Poisson.

Ekuacioni mund të përshtatet nëse, në vend të numrit mesatar të ngjarjeve <math>\lambda,</math> na jepet norma mesatare <math>r</math> në të cilat ndodhin ngjarjet. Pastaj <math>\lambda = r t,</math> dhe: <ref>{{Cite book |last=Kardar |first=Mehran |title=Statistical Physics of Particles |title-link=Statistical Physics of Particles |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2007 |isbn=978-0-521-87342-0 |page=42 |oclc=860391091 |author-link=Mehran Kardar}}</ref>

: <math>P(k \text{ ngjarje ne intervalin } t) = \frac{(rt)^k e^{-rt}}{k!}.</math>

=== Shembull ===
[[Skeda:Chewing_gum_on_a_sidewalk_in_Reykjavík.JPG|alt=Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík.|parapamje| Çamçakëza në një trotuar. Numri i çimçakizëve në një pllakë të vetme është afërsisht i shpërndarë Poisson.]]
Shpërndarja Poisson mund të jetë e dobishme për të modeluar ngjarje të tilla si:

* numri i meteoritëve me diametër më të madh se 1 metër që godasin Tokën në një vit;
* numri i fotoneve lazer që godasin një detektor në një interval të caktuar kohor; dhe
* numri i studentëve që kanë arritur një notë të ulët dhe të lartë në një provim.

=== Supozimet dhe vlefshmëria ===
Shpërndarja Poisson është një model i përshtatshëm nëse supozimet e mëposhtme janë të vërteta:

* k është numri i herëve që një ngjarje ndodh në një interval dhe k mund të marrë vlerat 0, 1, 2,&nbsp;...&nbsp;.
* Ndodhja e një ngjarje nuk ndikon tek probabiliteti që një ngjarje e dytë do të ndodhë. Kjo do të thotë, ngjarjet ndodhin në mënyrë të pavarur.
* Shkalla mestare me të cilën ndodh një ngjarje është e pavarur nga çdo ndodhi. Për thjeshtësi, kjo zakonisht merret të jetë konstante, por në praktikë mund të variojë me kohën.
* Dy ngjarje nuk mund të ndodhin në të njëjtin çast kohe; në vënd të kësaj, në çdo nëninterval shumë të vogël, ose ndodh vetëm një ngjarje, ose nuk ndodh asnjë.

Nëse këto kushte janë të vërteta, atëherë k është një ndryshore e rastit Poisson, dhe shpërndarja e k është një shpërndarje Poisson.

Shpërndarja Poisson është gjithashtu [[Limiti|kufiri]] i një [[Shpërndarja binomiale|shpërndarjeje binomiale]], për të cilën probabiliteti i suksesit për çdo provë është i barabartë me λ pjesëtuar me numrin e provave, ndërsa numri i provave i afrohet pafundësisë (shih Shpërndarjet e ngjashme ).

==== Shembuj të probabilitetit për shpërndarjet Poisson ====
{{Col-begin}}
{{Col-break}}
Në një lum të caktuar, përmbytjet të mëdha ndodhin mesatarisht një herë në 100 vite. Llogarisni probabilitetin që:{{mvar|k}} = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ose 6 përmbytje të mëdha në një interval prej 100&nbsp; vitesh,duke hamendësuar se një model puason është i përshtatshëm.

Sepse shkalla mesatare e ndodhisë është një përmbytje e madhe në 100 vite,{{mvar|λ}} = 1

: <math> P(k \text{ overflow floods in 100 years}) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \frac{1^k e^{-1}}{k!}</math>
: <math> P(k = 0 \text{ overflow floods in 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{e^{-1}}{1} \approx 0.368 </math>
: <math> P(k = 1 \text{ overflow flood in 100 years}) = \frac{1^1 e^{-1}}{1!} = \frac{e^{-1}}{1} \approx 0.368 </math>
: <math> P(k = 2 \text{ overflow floods in 100 years}) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.184 </math>

{{Col-break}}
:{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|k}} !! {{mvar|P}}({{mvar|k}} përmbytje të mëdha në 100&nbsp;vite)
|-
| 0|| 0.368
|-
| 1|| 0.368
|-
| 2|| 0.184
|-
| 3|| 0.061
|-
| 4|| 0.015
|-
| 5|| 0.003
|-
| 6|| 0.0005
|}

Probabiliteti për 0 deri në 6 përmbytje të mëdha në një periudhë 100 vjeçare.{{Col-end}}{{Col-begin}}
{{Col-break}}
[[María Dolores Ugarte]] dhe kolegët raportojnë se numri mesatar i golave në një ndeshje futbolli të kupës së botës është afërsisht 2.5 dhe modeli Puason është i përshtatshëm. {{r|Ugarte2016}}Meqënëse shkalla mesatare e ngjarjes është 2.5 gola për ndeshje,
{{mvar|λ}} = 2.5&nbsp;.

: <math> P(k \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^k e^{-2.5}}{k!}</math>
: <math> P(k = 0 \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^0 e^{-2.5}}{0!} = \frac{e^{-2.5}}{1} \approx 0.082 </math>
: <math> P(k = 1 \text{ goal in a match}) = \frac{2.5^1 e^{-2.5}}{1!} = \frac{2.5 e^{-2.5}}{1} \approx 0.205 </math>
: <math> P(k = 2 \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^2 e^{-2.5}}{2!} = \frac{6.25 e^{-2.5}}{2} \approx 0.257 </math>

{{Col-break}}
:{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|k}} !! {{mvar|P}}({{mvar|k}} gola në një ndeshje të Kupës së Botës në futboll)
|-
| 0|| 0.082
|-
| 1|| 0.205
|-
| 2|| 0.257
|-
| 3|| 0.213
|-
| 4|| 0.133
|-
| 5|| 0.067
|-
| 6|| 0.028
|-
| 7|| 0.010
|}
Probabiliteti për 0 deri në 7 gola në një ndeshje.
{{Col-end}}

==== Ngjarjet një herë në interval: Rasti i veçantë i λ = 1 dhe k = 0 ====
Supozoni se astronomët vlerësojnë se meteoritët e mëdhenj (mbi një madhësi të caktuar) godasin tokën mesatarisht një herë në 100&nbsp;vjet ( {{Nowrap|{{mvar|λ}} {{=}} 1}} ngjarje për 100&nbsp;vjet), dhe se numri i goditjeve të meteorit ndjek një shpërndarje Poisson. Sa është probabiliteti i goditjes {{Nowrap|{{mvar|k}} {{=}} 0}} meteorit në 100 të ardhshëm&nbsp;vjet?

: <math> P(k = \text{0 meteorë godasin në 100 vitet e ardhshme}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37.</math>

Sipas këtyre supozimeve, probabiliteti që asnjë meteor i madh të mos godasë tokën në 100&nbsp;vjet është afërsisht 0.37. Pjesa e mbetur {{Nowrap|1 − 0.37 {{=}} 0.63}} është probabiliteti i 1, 2, 3 ose më shumë goditjeve të meteoritëve të mëdhenj në 100 të ardhshëm&nbsp;vjet. Në një shembull të mësipërm, një përmbytje ndodhte një herë në 100&nbsp;vjet {{Nowrap|({{mvar|λ}} {{=}} 1).}} Probabiliteti i mos përmbytjeve në 100&nbsp;vjet ishte afërsisht 0.37, me të njëjtën llogaritje.

Në përgjithësi, nëse një ngjarje ndodh mesatarisht një herë në interval ( λ&nbsp;=&nbsp;1), dhe ngjarjet ndjekin një shpërndarje Poisson, pastaj {{Nowrap|{{mvar|P}}(0 events in next interval) {{=}} 0.37.}} Përveç kësaj, {{Nowrap|{{mvar|P}}(exactly one event in next interval) {{=}} 0.37,}} siç tregohet në tabelën për përmbytjet e tejmbushura.

=== Shembuj që shkelin supozimet e Poisson ===
Numri i studentëve që mbërrijnë në bashkimin e studentëve për minutë ka të ngjarë të mos ndjekë një shpërndarje Poisson, sepse norma nuk është konstante (normë e ulët gjatë orës së mësimit, normë e lartë midis orëve të mësimit) dhe ardhjet e studentëve individualë nuk janë të pavarur (studentët priren të vijnë në grupe). Shkalla e mbërritjes jokonstante mund të modelohet si një [[Shpërndarja e përzier Poisson|shpërndarje e përzier Poisson]], dhe ardhja e grupeve dhe jo e studentëve individualë si një [[Procesi i Komponimit Poisson|proces i përbërë Poisson]] .

Numri i madhësisë&nbsp;tërmeteve të madhësisë 5 në vit në një vend mund të mos ndjekin një shpërndarje Poisson, nëse një tërmet i madh rrit probabilitetin e pasgoditjeve me magnitudë të ngjashme.

Shembujt në të cilët të paktën një ngjarje është e garantuar që nuk ndjek shpërndarjen Poisson; por mund të modelohet duke përdorur një [[Shpërndarja Poisson me zero të cunguar|shpërndarje Poisson të prerë zero]] .

== Vetitë ==

=== Statistika përshkruese ===

* [[Pritja matematike|Vlera e pritur]] dhe [[varianca]] e një ndryshoreje rasti të shpërndarë nga Poisson janë të dyja të barabarta me λ .
* Koeficienti i variacionit është <math display="inline"> \lambda^{-1/2},</math> ndërsa indeksi i dispersionit është 1. 
* Devijimi mesatar absolut rreth mesatares është <math display="block">\operatorname{E}[\ |X-\lambda|\ ]= \frac{2 \lambda^{\lfloor\lambda\rfloor + 1} e^{-\lambda}}{\lfloor\lambda\rfloor!}.</math>
* [[Moda (statistikë)|Moda]] e një ndryshoreje të rastit të shpërndarë sipas Poisson me λ jo numër të plotë është e barabartë me <math>\lfloor \lambda \rfloor,</math> i cili është numri i plotë më i madh më i vogël ose i barabartë me&nbsp;λ . Kjo shkruhet edhe si [[Funksionet dysheme dhe tavan|floor]] ( λ ). Kur λ është një numër i plotë pozitiv, modat janë λ dhe λ&nbsp;−&nbsp;1.
* Të gjithë mbledhësit e shpërndarjes Poisson janë të barabartë me vlerën e pritur&nbsp;λ .&nbsp;Momenti i n-të faktorial i shpërndarjes Poisson është λ {{Sup|{{mvar|n}}}}&nbsp;.
* [[Pritja matematike]] e një procesi Poisson ndonjëherë zbërthehet në produktin e ''intensitetit'' dhe ''ekspozimit'' (ose më përgjithësisht shprehet si integral i një "funksioni intensiteti" me kalimin e kohës ose hapësirës, ndonjëherë i përshkruar si "ekspozim"). [16]

=== Mesorja ===
Kufijtë për mesoren ( <math>\nu</math> ) të shpërndarjes janë të njohura dhe të [[Zhargoni matematikor|mprehta]] : [17]<math display="block">\lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}.</math>

=== Shumat e ndryshoreve të rastësishme me shpërndarje Poisson ===
Nëse <math>X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)</math> për <math>i=1,\dotsc,n</math>  janë të pavarura atëherë <math display="inline">\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).</math> [20] Një e kundërt është teorema e Raikov-it, e cila thotë se nëse shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura me shpërndarje Poisson, atëherë kështu janë secila prej këtyre dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura. [21] [22]

=== Entropia maksimale ===
Është një shpërndarje maksimale e entropisë midis grupit të shpërndarjeve binomiale të përgjithësuara <math>B_n(\lambda)</math> me mesatare <math>\lambda</math> dhe <math>n\rightarrow\infty</math>, <ref>{{Cite journal |last=Harremoes |first=P. |date=korrik 2001 |title=Binomial and Poisson distributions as maximum entropy distributions |journal=IEEE Transactions on Information Theory |volume=47 |issue=5 |pages=2039–2041 |doi=10.1109/18.930936}}</ref> ku një shpërndarje binomiale e përgjithësuar përkufizohet si një shpërndarje e shumës së N variablave Bernoulli të pavarura por jo identikisht të shpërndara.

=== Veti të tjera ===

* Shpërndarjet Poisson janë shpërndarje probabiliteti pafundësisht të pjesëtueshme .  
* Divergjenca e drejtuar Kullback–Leibler e <math>P=\operatorname{Pois}(\lambda_0)</math> nga <math>P_0=\operatorname{Pois}(\lambda)</math> jepet nga <math display="block">\operatorname{D}_{\text{KL}}(P\parallel P_0) = \lambda_0 - \lambda + \lambda \log \frac{\lambda}{\lambda_0}.</math>
* Nëse <math>\lambda \geq 1</math> atëherë është një numër i plotë <math>Y\sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> kënaq <math>\Pr(Y \geq E[Y]) \geq \frac{1}{2}</math> dhe <math>\Pr(Y \leq E[Y]) \geq \frac{1}{2}.</math> <ref>{{Cite book |last=Mitzenmacher |first=Michael |title=Probability and computing: Randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis |url=https://archive.org/details/probabilitycompu0000mitz |date=2017 |others=Eli Upfal |isbn=978-1-107-15488-9 |edition=2nd |location=Cambridge, UK |at=Exercise&nbsp;5.14 |oclc=960841613}}</ref>
* Kufijtë për probabilitetet e bishtit të një ndryshoreje rasti Poisson <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> mund të nxirren duke përdorur një argument të kufirit Chernoff . [26] <math display="block">P(X \geq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda}}{x^x}, \text{ për } x > \lambda,</math><math display="block">P(X \leq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda} }{x^x}, \text{ për } x < \lambda.</math>

== Shpërndarjet e ndërlidhura ==

=== Gjeneral ===

=== Përafrimi Poisson ===
Supozoni <math>X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)</math> ku <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1,</math> pastaj <ref>{{Cite web |title=1.7.7 – Relationship between the Multinomial and Poisson &#124; STAT 504 |url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/ |access-date=5 shtator 2023 |archive-date=6 gusht 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190806195228/https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/ |url-status=dead }}</ref> <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)</math> është i shpërndarë në mënyrë shumënomike <math>(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> kushtëzuar në <math>N = X_1 + X_2 + \dots X_n.</math>

Kjo do të thotë [26] , ndër të tjera, atë për çdo funksion jonegativ <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),</math> nëse <math>(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)\sim\operatorname{Mult}(m, \mathbf{p})</math> atëherë shpërndahet në mënyrë shumënomike<math display="block">
\operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)]
</math>ku <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)\sim\operatorname{Pois}(\mathbf{p}).</math>

== Konkluzioni statistikor ==

=== Vlerësimi i parametrave ===
Jepet një zgjedhje prej n vlerash të matura <math>k_i \in \{0,1,\dots\},</math> për {{Nowrap|{{math|''i'' {{=}} 1, ..., ''n''}},}} dëshirojmë të vlerësojmë vlerën e parametrit λ të popullatës Poisson nga e cila është nxjerrë zgjedhja. Vlerësuesi i përgjasisë maksimale është <ref>{{Cite web |last=Paszek |first=Ewa |title=Maximum likelihood estimation – examples |url=http://cnx.org/content/m13500/latest/?collection=col10343/latest |website=cnx.org}}</ref>

: <math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i\ .</math>

== Ndodhia dhe zbatimet ==
Zbatimet e shpërndarjes Poisson mund të gjenden në shumë fusha duke përfshirë: [50]

* Të dhënat e numërueshme në përgjithësi
* Shembull [[Telekomunikacioni|i telekomunikacionit]] : thirrjet telefonike që vijnë në një sistem.
* Shembull [[Astronomia|i astronomisë]] : fotonet që mbërrijnë në një teleskop.
* Shembull [[Kimia|i kimisë]] : shpërndarja e masës molare të një polimerizimi të gjallë . [51]
* Shembull [[Biologjia|i biologjisë]] : numri i mutacioneve në një varg të [[ADN|ADN-së]] për njësi gjatësie.
* Shembull [[menaxhimi]] : klientët që mbërrijnë në një sportel ose në një qendër telefonike.
* Shembull i [[Shërbimet financiare|financave dhe sigurimeve]] : numri i humbjeve ose dëmeve që ndodhin në një periudhë të caktuar kohore.
* Shembull i [[Sizmologjia|sizmologjisë së tërmeteve]] : një model Poisson asimptotik i rrezikut sizmik për tërmete të mëdha. [52]
* Shembull [[Radioaktivitet|radioaktiviteti]] : numri i zbërthimeve në një interval kohor të caktuar në një kampion radioaktiv.
* Shembull [[Optika|i optikës]] : numri i fotoneve të emetuara në një impuls të vetëm lazer. Kjo është një lëndueshmëri e madhe për shumicën e protokolleve të shpërndarjes së çelësave kuantikë të njohur si Ndarja e Numrave të Fotonit (PNS).

Shpërndarja Poisson lind në lidhje me proceset Poisson. Ai zbatohet për dukuri të ndryshme të vetive diskrete (d.m.th., ato që mund të ndodhin 0, 1, 2, 3, … herë gjatë një periudhe të caktuar kohe ose në një zonë të caktuar) sa herë që probabiliteti që dukuria të ndodhë është konstant në kohë ose [[Hapësira|hapësirë]] . Shembuj të ngjarjeve që mund të modelohen si një shpërndarje Poisson përfshijnë:

* Numri i ushtarëve të vrarë nga goditjet e kuajve çdo vit në çdo korpus të kalorësisë [[Prusia|prusiane]] . Ky shembull u përdor në një libër nga Ladislaus Bortkiewicz (1868–1931). [10] 
* Numri i qelizave të majasë të përdorura gjatë bërjes së birrës [[Guinness]] . Ky shembull u përdor nga William Sealy Gosset (1876–1937). [53] [54]
* Numri i telefonatave që mbërrijnë në një qendër telefonike brenda një minute. Ky shembull u përshkrua nga AK Erlang (1878–1929). [55]
* Trafiku i internetit.
* Numri i golave në sportet që përfshijnë dy ekipe konkurruese. [56]
* Numri i vdekjeve në vit në një grupmoshë të caktuar.
* Numri i kërcimeve në çmimin e aksioneve në një interval kohor të caktuar.
* Nën supozimin e homogjenitetit, numri i herëve që një [[Ueb serveri|server ueb]] aksesohet në minutë.
* Numri i [[Mutacioni|mutacioneve]] në një shtrirje të caktuar të [[ADN|ADN-]] së pas një sasie të caktuar rrezatimi.
* Përqindja e [[Qeliza|qelizave]] që do të infektohen në një shumëllojshmëri të caktuar infeksioni .
* Numri i baktereve në një sasi të caktuar lëngu. [57]
* Ardhja e [[Fotoni|fotoneve]] në një qark piksel në një ndriçim të caktuar dhe gjatë një periudhe të caktuar kohore.
* Shënjestra e bombave fluturuese V-1 në Londër gjatë Luftës së Dytë Botërore u hetua nga RD Clarke në 1946. [58]





[[Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara]]