Shih burimin për Zbërthimi i bashkësisë

'''Particion''' apo zbërthim i bashkësisë ''X'' është bashkësia ''P'' e të gjitha nënbashkësive jo të zbrazta të ''X'' të tilla që 

# [[Unioni]] i elementeve nga ''P'' është i barabartë me ''X''.
# [[Prerja]] ç'do dy elementeve të ndryshme nga ''P'' është bashkësi e zbrazët.

Me simbole matematikore këto dy kushte mund të shënohen me

# <math>\bigcup P = X</math>
# <math>A \cap B =\emptyset \text{ nese } A \in P, B\in P, A \neq B</math>

Elementet e ''P'' i quajmë '''blloqe''' ose '''pjesë''' të particionit.<ref name="brualdi44_45">Brualdi, ''pp''. 44-45</ref>

== Shembuj ==
* Bashkësia {''x''} ka vetëm një particion { {''x''} }.
* Nëse ''X'' është një bashkësi jo e zbrazët atëherë, ''P'' = {''X''} është një particion i ''X''.
* Bashkësia { 1, 2, 3 } ka këto 5 particione të ndryshme.
** { {1}, {2}, {3} }, shkurt shënojmë 1/2/3.
** { {1, 2}, {3} }, shkurt shënojmë 12/3.
** { {1, 3}, {2} }, shkurt shënojmë 13/2.
** { {1}, {2, 3} }, shkurt shënojmë 1/23.
** { {1, 2, 3} }, shkurt shënojmë 123.

== Partitionet dhe relacioni i ekuivalencës ==

== Imtësimi i particioneve ==

Çdo particion ''α'' i bashkësisë ''X'' është '''imtësim''' i particionit ''ρ'' të ''X''—dhe themi se ''α'' është më imtë se ''ρ'' dhe ''ρ'' është më i trashë se ''α''—nëse ç'do element i ''α'' është nënbashkësi e ndonjë elementi të ''ρ''. Joformalisht kjo do të thotë se ''α'' është fragmentim ose coptim i ''ρ''. Në këtë rast përdorim shënimin ''α'' ≤ ''ρ''.

Relacioni ''është më i imët se'' në bashkësinë e particioneve të ''X'' është një renditje e pjesshme ose rrjetë e plotë. Si shembull janë dhënë particionet e bashkësisë ''X'' = {1, 2, 3, 4}, kjo rrjetë e particioneve ka 15 elemente dhe ajo formon të ashtuquajturin diagram Hasse në figurën më poshtë

[[Skeda:PartitionLattice.svg|center|480px]]

== Numri i particioneve ==

Numri i particioneve të një bashkësie me ''n''-elemente është numër i Bellit ''B''<sub>''n''</sub>. Disa nga numrat eparë të Bellit janë
''B''<sub>0</sub> = 1,
''B''<sub>1</sub> = 1, ''B''<sub>2</sub> = 2, ''B''<sub>3</sub> = 5, ''B''<sub>4</sub> = 15, ''B''<sub>5</sub> = 52, ''B''<sub>6</sub> = 203 etj. Numrat e Bellit e plotësojnë rekurencën <math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k</math>

Funksioni gjenerues i numrave të Belleit është

:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n=e^{e^z-1}.</math>

Numri i particioneve të një bashkësie me ''n''-elemente në ''k'' pjesë është [[Numrat e Stirlingut|numër i Stirlingut i llojit të dytë]] ''S''(''n'', ''k'').

== Shënime ==
{{reflist}}

== Referime ==
*{{cite book |last= Brualdi |first= Richard A. |title= Introductory Combinatorics |url= https://archive.org/details/introductorycomb0000brua_h9s5 |edition= i katërt |year= 2004 |publisher= Pearson Prentice Hall |isbn= 0131001191}}
*{{cite book |last= Schechter |first= Eric |title= Handbook of Analysis and Its Foundations |year= 1997 |publisher= Academic Press |isbn= 0126227608}}

<!---->

[[Kategoria:Kombinatorikë]]