Kardinalitet

Kardinaliteti

Termi kardinalitet vie nga përdorimi i rëndomtë i termit numra kardinal, dhe paraqet madhësinë e bashkësisë në kuptimin se sa i madh është numri i elementeve të asaj bashkësie.

Kardinaliteti i bashkësive të fundme

Le të jetë $S$ një bashkësi e cila ka saktësisht $n$ elementë të ndryshme, ku $n$ është numër i plotë jonegativ. Themi se $S$ është një bashkësi e fundme dhe se $n$ paraqet numrin e elementeve të asaj bashkësie ose ndryshe kardinalitetin e bashkësisë $S$. Kardinaliteti shënohet zakonisht me $|S|$, por mund të shkruhet edhe si $n(S)$, $S$ ose $\mathrm{card}(S)$.
P.sh nëse bashkësia $S$ e dhënë me $S=\{0,2,4,6,8\}$ përmban 5 elemente të ndryshme, themi se kjo bashkësi ka kardinalitet të barabartë me 5, pra $|S|=5$.

• Përkufizim 1: Bashkësitë A dhe B kanë të njëjtin kardinalitet vetëm atëherë kur ekziston një bijeksion nga $A$ në $B$ ose anasjelltas, dhe me këtë rast shënojmë $|A|=|B|$.

• Përkufizim 2: Nëse nga bashkësia A në bashkësinë B ekziston funksioni injektiv $(1-1)$, themi se kardinaliteti i $A$ është më i vogël ose baraz me kardinalitetin e $B$ dhe simbolikisht shënojmë $|A|$ ≤ $|B|$. Nëse përveq kësaj vlen edhe se kardinaliteti i bashkësisë $A$ është i ndryshëm nga kardinaliteti i bahshkësisë $B$, atëherë themi se kardinaliteti i $A$-së është më i vogël se kardinaliteti i $B$-së, dhe shënojmë $|A|<|B|$.
• Përkufizim 3: Çdo bashkësi, kardinaliteti i së cilës është më i vogël se i numrave natyrorë, quhet bashkësi e fundme. Çdo bashkësi e fundme është bashkësi e numrueshme.

Kardinaliteti i bashkësive të pafundme

Kardinaliteti i bashkësive si kuptim, zgjerohet edhe në bashkësitë e pafundme. Bashkësitë e pafundme i ndajmë në bashkësi të pafundme të numrueshme dhe bashkësi të pafundme të panumrueshme.

• Përkufizim 4: Bashkësia e cila është e fundme, ose është e pafundme me kardinalitet të njëjtë me bashkësinë e numrave natyrorë ℕ, quhet bashkësi e numrueshme. Bashkësia e cila nuk është e numrueshme quhet e panumrueshme. Kur një bashkësi e pafundme $S$ është e numrueshme, shënojmë kardinalitetin e $S$ me ℵ₀, pra $|S|=$ℵ₀ (lexohet "alef zero").
  
  Shembull: Tregoni se bashkësia e numrave pozitiv tek është bashkësi e numrueshme.
  Zgjidhje: Për ta treguar se bashkësia e numrave pozitiv tek është e numrueshme, gjejmë një funksion bijektiv nga kjo bashkësi në bashkësinë e numrave natyrorë, ose anasjelltas.
  Marrim funksionin $f(n)=2n-1$ nga bashkësia ℕ në bashkësinë e numrave natyrorë tek të dhënë me $A$. Tregojmë se $f$ është bijektiv, duke treguar se është $1-1(injektiv)$ dhe $mbi(surjektiv)$.
  Për të parë se $f$ është $1-1$, supozojmë se $f(n)=f(m)$. Atëherë kemi:
  $f(n)=f(m)$
  $2n-1=2m-1$
  $2n=2m$
  $n=m$
  Pra, funksioni $f$ është injektiv.
  Për të treguar se $f$ është mbi, supozojmë se $t$ është numër natyrorë tek.
  Atëherë $t$ është për 1 më i vogël se një numër qift $2k$, ku $k$ është numër natyrorë.
  Pra kemi $t=2k-1=f(k)$ që do të thotë se ∀$x$ ∈ ℕ, ∃$y$ ∈ $A$ i tillë që $f(x)=2x-1=y$
  Andaj funksioni $f$ është mbi.
  Pasi që $f$ është $1-1$ dhe $mbi$, atëherë funksioni është bijektiv, që d.m.th se bashkësia $A$ është e numrueshme, çka edhe duhej vërtetuar.
  Një bashkësi e pafundme është e numrueshme atëherë dhe vetëm atëherë kur mund ti radhisim elementet e saj në varg (me indeks numra natyrorë). Kjo sepse bijeksioni $f$ nga bashkësia e numrave natyrorë në një bashkësi $S$ mund të shkruhet si varg:
  $a$₁, $a$₂, … , $a$_n, …, ku $a$₁ = f(1), $a$₂ = f(2), … , $a$_n = f(n), … .
• Teoremë 1: Nëse $A$ dhe $B$ janë bashkësi të numrueshme, atëherë edhe $A$∪$B$ është e numrueshme.
• Teoremë 2: Teorema e SCHRÖDER-BERNSTEIN Nëse $A$ dhe $B$ janë bashkësi të tilla që $|A|$ ≤ $|B|$ dhe $|B|$ ≤ $|A|$ atëherë $|A|=|B|$.
  Nëse ekzistojnë funksione injektive $f$ nga $A$ në $B$ dhe $g$ nga $B$ në $A$, atëherë ekziston një funksion bijektiv në mes $A$ dhe $B$.