Ekuacioni Klein-Gordon

Në fizikë Ekuacioni Klein–Gordon (ose ekuacioni Klein–Fock–Gordon ) është një version relativist i ekuacionit i Shrodingerit.

Ai është ekuacioni i lëvizjes së një fushe kuantike skalare ose pseudoskalare, një fushë, kuantet e të cilës nuk kanë spin. Për një gjendje kuantike ky ekuacion nuk mund të interpretohet direkt si ekuacioni i Shrodingerit, sepse është një ekuacion i rendit të dyte në lidhje me kohën si dhe për shkakun se nuk pranon një densitet probabilistik të konservuar me një vlere pozitive të përcaktuar. Megjithatë me interpretimin e duhur, ekuacioni përshkruan amplitudën kuantike për gjetjen e një pike thërrmije në vende të ndryshme, nëpërmjet funksionit valor relativistik, por në këtë rast ekuacioni thotë se thërrmija mund te lëvizë para ose prapa në kohë.

Forma e ekuacionit

Ekuacioni Klein–Gordon ka formen

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{(\partial t{)}^2}\psi -{\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0.$

Derivimi

Ekuacioni jo-relativistik për energjinë e një thërrmije të lirë është

$\frac{{𝐩}^2}{2m}=E.$

Duke e kuantizuar këtë, marrim ekuacionin jo-relativistik të Shrodingerit për një thërrmijë të lirë,

$\frac{{𝐩}^2}{2m}\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi$

ku

$𝐩=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

është operatori i impulsit ($\mathrm{\nabla }$ është operatori del).

Ekuacioni i Shrodingerit vuan nga fakti se nuk është kovariant nga pikëpamja relativistike, pra nuk merr parasysh relativitein special të Ajnshtajnit.

Eshtë e natyrshme të përdorim identitetin nga relativiteti special

$\sqrt{{𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4}=E$

për energjinë; pra, duke futur operatorin kuantik të vrullit (impulsit), marrim ekuacionin

$\sqrt{(-i\hslash \mathrm{\nabla }{)}^2{c}^2+m^2{c}^4}\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi .$

Kjo, është një shprehje shumë e vështirë për tu punuar me për shkak të rrenjes katrore. Për më teper, ky ekuacion, sic është, ka formë jolokale.

Klein dhe Gordoni filluan me katrorin e identitetit te mesiperm, pra.

${𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4=E^2$

i cili kur kuantizohet jep

$((-i\hslash \mathrm{\nabla }{)}^2{c}^2+m^2{c}^4)\psi =(i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{)}^2\psi$

e cila thjeshtohet te

$-{\hslash }^2{c}^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi +m^2{c}^4\psi =-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{(\partial t{)}^2}\psi .$

Duke rirregulluar termat kemi

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{(\partial t{)}^2}\psi -{\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0.$

Meqense te gjitha referencat e numrave imagjinare jane eliminuar nga ky ekuacion, ajo mund te aplikohet tek fusha te cilat kane vlera reale si dhe te ato qe kane vlera komplekse.

Duke perdorun te anasjellten e metrikes se Minkovskit $\text{diag}(-c^2,1,1,1)$, marrim

$-{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0$

në notacionin kovariant. Kjo shpesh shkurtohet si

$({◻}^2+{\mu }^2)\psi =0,$

ku

$\mu =\frac{mc}{\hslash }$

dhe

${◻}^2=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2.$

Ky operator quhet operatori i d'Alembertit. Sot kjo formë interpretohet si ekuacioni relativist i fushës për një thërrmijë skalare (pra. me spin-0) .

Shiko gjithashtu

• Ekuacioni i Dirakut
• Teoria kuantike e fushes
• Teoria skalare e fushes
• Aspektet matematike te ekuacionit te Klein-Gordon diskutohen tek Dispersive PDE Wiki.

Referime

• Stampa:Cite book
• Stampa:Cite book

Lidhje te jashtme

• Linear Klein-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

• Nonlinear Klein-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• generalizing the Klein-Gordon equation to include a generalized space