Trajtimi klasik i tensorëve

Një tensor është një përgjithësim i koncepteve të vektorit dhe matricave. Tensorët na lejojnë që të shprehim ligjet fizike në një formë që është e aplikueshme në çdo sistem kordinativ. Për këtë arsye, ato përdoren shumë në mekanikën e vazhduar dhe në teorinë e relativitetit.

Një tensor është një transformim multi-dimensional invariant , që merr forma të ndryshme nga një sistem kordinativ në një tjetër. Ai merr formën:

$T_{[j_1,j_2,j_3,...j_m]}^{[i_1,i_2,i_3,...i_n]}$

Sistemi i ri kordinativ paraqitet nga 'me vizë'(${\overline{x}}^i$), dhe sistemi i vjetër kordinativ është pa vizë($x^i$).

Indekset e larta [$i_1,i_2,i_3,...i_n$] janë komponent kontravariantë, dhe indekset e poshtme [$j_1,j_2,j_3,...j_n$] janë komponentët kovariantë.

Tensorët kontravariantë dhe kovariantë

Një tensor kontravariant i rendit të 1($T^i$) përcaktohet si:

${\overline{T}}^i=T^r\frac{\partial {\overline{x}}^i}{\partial x^r}.$

Një tensor kovariant i rendit të 1($T_i$) përcaktohet si:

${\overline{T}}_i=T_r\frac{\partial x^r}{\partial {\overline{x}}^i}.$

Tensorët e pergjithshëm

Nje tensor i pergjithshem më shumë-rendor është thjesht një prodhim tensorial i tensorëve të rendit të parë:

$T_{[j_1,j_2,...j_q]}^{[i_1,i_2,...i_p]}=T^{i_1}\otimes T^{i_2}...\otimes T^{i_p}\otimes T_{j_1}\otimes T_{j_2}...\otimes T_{j_q}$

e tillë që:

${\overline{T}}_{[j_1,j_2,...j_q]}^{[i_1,i_2,...i_p]}=T_{[s_1,s_2,...s_q]}^{[r_1,r_2,...r_p]}\frac{\partial {\overline{x}}^{i_1}}{\partial x^{r_1}}\frac{\partial {\overline{x}}^{i_2}}{\partial x^{r_2}}...\frac{\partial {\overline{x}}^{i_p}}{\partial x^{r_p}}\frac{\partial x^{s_1}}{\partial {\overline{x}}^{j_1}}\frac{\partial x^{s_2}}{\partial {\overline{x}}^{j_2}}...\frac{\partial x^{s_q}}{\partial {\overline{x}}^{j_q}}.$

Kjo zakonisht quhet ligji i transformimit tensorial.

Shikoni gjithashtu

• Derivati i tensorit
• Diferencimi absolut
• Kurbatura
• Gjeometria Rimaniane

Lexime të mëtejshme

• Schaum's Outline of Tensor Calculus
• Synge and Schild, Tensor Calculus, Toronto Press: Toronto, 1949