Formula e Larmorit

Një antenë Yagi-Uda. Radio valet rrezatohen nga një antenë kur në të elektronet përshpejtohen.

Në fizike, në fushën e elektrodinamike, formula e Larmorit përdoret për llogaritjen e fuqisë së përgjithshme të rrezatuar nga një pikë ngarkese jorelativiste kur ajo përshpejtohet. Ekuacioni u derivua nga J. J. Larmor në 1897, në kontekstin e teorisë valore të dritës.

Çdo thërrmije e ngarkuar, kur përshpejtohet ose ngadalësohet (si për shembull një elektron) rrezaton energji në formën e valëve elektromagnetike. Për shpejtësitë që janë të të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, fuqia e përgjithshme e rrezatuar jepet nga formula e Larmorit :

$P=\frac{e^2{a}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}\text{ (SI units)}$

$P=\frac{2}{3}\frac{e^2{a}^2}{c^3}\text{ (cgs units)}$

ku $a$ është nxitimi, $e$ është ngarkesa, dhe $c$ është shpejtësia e dritës. Një përgjithësim relativist jepet nga Potencialet Liénard-Wiechert.

Derivimi

Derivimi 1 : Fusha e një ngarkese në lëvizje

M87's Xhet Energjetik. Ndriçimi shkaktohet nga rrezatimi sinkrotron, elektrone të energjisë së lartë vine rrotull vijave të fushës magnetike, u zbulua për herë të parë në 1956 nga Geoffrey R. Burbidge në M87 duke konfirmuar parashikimin e Hannes Alfvén dhe Nicolai Herlofson në 1950, dhe Iosif S. Shklovskii në 1953.

Zgjidhja e potencialeve të vonuara

Në rastin kur nuk ka ndonjë kufi rreth ngarkesave, zgjidhja e vonuar për potencialet skalare dhe vektoriale (ne njësi cgs) të ekuacionit johomogjente valës janë (shikoni Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike)

$\phi (𝐫,t)=\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })d^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }$

dhe

$𝐀(𝐫,t)=\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{c}{d}^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }$

ku

$\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)$

është funksioni delta i Dirakut dhe ku korrenti dhe dendësia e ngarkesës janë

$𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=e{𝐯}_0(t^{\prime })\delta ({𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime }))$

$\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=e\delta ({𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime }))$

për një thermije tek ${𝐫}_0(t^{\prime })$ që udhëton me një shpejtësi ${𝐯}_0(t^{\prime })$.

Fusha elektrike dhe magnetike

Potencialet skalare dhe vektoriale janë të lidhur me fushën elektrike dhe magnetike nga

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$.

Fushat mund të shkruhen

$𝐄(𝐫,t)=e{\left[\frac{(𝐧-\frac{{𝐯}_0}{c})(1-{\beta }^2)}{{\kappa }^3{R}^2}\right]}_{\text{ret}}+\frac{e}{c}{\left[\frac{𝐧\times (𝐧-\frac{{𝐯}_0}{c})\times \frac{𝐚}{c}}{{\kappa }^{3}R}\right]}_{\text{ret}}$

$𝐁(𝐫,t)=𝐧\times 𝐄(𝐫,t)$

ku

$𝐚$ është nxitimi,

$𝐧$ është një vektor njësi në drejtimin e $𝐫-{𝐫}_0$,

$R$ është madhesia e $𝐫-{𝐫}_0$,

$\kappa \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}1-𝐧\cdot \frac{{𝐯}_0}{c}$

${\beta }^2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{v_0^2}{c^2}$

dhe termat ne të djathte vlerësohen në një kohë të vonuar

$t^{\prime }=t-\frac{R}{c}$.

Termi i dyte, është proporcional me nxitimin, dhe paraqet një vale dritë sferike. Termi i parë bie me katrorin e distance dhe paraqet një valë që zvogëlohet në madhësi me distancën.

Derivimi 2 : Duke përdorur mënyrën e Edward M. Purcell

Derivimi i plotë mund të gjendet tek http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html

Shikoni gjithashtu

• Teoria atomike
• Rrezatimi i ciklotronit
• Ekuacioni i valës elektromagnetike
• Ekuacioni i valës

Referime

• J. Larmor, "Mbi një teori dinamike te mjedisit elektrike luminefer", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp.205-300
• Stampa:Cite book
• Stampa:Cite book
• Stampa:Cite book