Sfera e Blokut

Sfera e Blokut

Në mekanikën kuantike, sfera e Blokut është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok. Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në mënyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me n-nivele.

Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirën e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në veçanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë. Çdo çift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në mënyre mutuale një çifti gjëndjesh ekskluzive të një thërrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike.

Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study.

Kubiti

Në mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje $\psi$ mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket $|0⟩$ dhe $|1⟩$ ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e $|0⟩$ të jenë reale dhe jo-negative. Pra $\psi$ ka një paraqitje si

$|\psi ⟩=\cos \theta |0⟩+e^{i\varphi }\sin \theta |1⟩=\cos \theta |0⟩+(\cos \varphi +i\sin \varphi )\sin \theta |1⟩$

me

$0\le \theta <\frac{\pi }{2},0\le \varphi <2\pi .$

Përveç rastit ku $\psi$ është një nga vektoret ket $|0⟩$ ose $|1⟩$, kjo paraqitje është unike, pra. parametrat $\varphi$ dhe $\theta$ specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane ${ℝ}^3$, nga pikëpamja vizuale, pika koordinata e së cilës $(x,y,z)$ janë

$\begin{array}{ccc}x& =& \sin 2\theta \times \cos \varphi \\ y& =& \sin 2\theta \times \sin \varphi \\ z& =& \cos 2\theta .\end{array}$

Një përgjithësim për gjendjet e pastra

Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me n-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane n-përmasore H_n. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcaktimit bashkësia e rrezeve 1-dimensionale të H_n.

Teoreme. Le U(n) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase n. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të H_n mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte

$\mathrm{U}(n)/(\mathrm{U}(n-1)\times \mathrm{U}(1)).$

Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(n) në bashkësine e gjendjeve të H_n. Ky veprim është i vazhdueshëm dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve g të U(n) e tillë që g ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit

$\mathrm{U}(n-1)\times \mathrm{U}(1).$

Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo g e U(n) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor. Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte.

Fakti i rëndësishëm këtu është që grupet unitare veprojnë në mënyre transitive në gjendjet e pastra.

Tani dimensioni (real) i U(n) është n². Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial

$A\mapsto e^{iA}$

është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n².

Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të H_n është 2n − 2.

Në fakt,

$n^2-((n-1{)}^2+1)=2n-2.$

Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një regjistri kuantik me m kubite është 2^m+1 − 2.

Referime

• Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum EntanglementStampa:Lidhje e vdekur", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) pp.9-16.
• Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)
• Stampa:Cite book