Teorema e Ehrenfestit

Teorema e Ehrenfestit, e emëruar pas Paul Ehrenfest, jep lidhjen midis derivatit kohor të vlerës mesatare për një operator mekaniko kuantik me komutatorin e atij operatori me Hamiltonianin e sistemit. Ajo është

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$

Ku A është nje operator në MK dhe $⟨A⟩$ është vlera mesatare. Teorema e Ehrenfestit është dicka që pritet në teorinë e Hajzenbergut te mekanikës kuantike, ku ajo është thjesht vlera mesatare e ekuacionit të lëvizjes së Hajzenbergut.

Teorema e Ehrenfestit është e lidhur ngushtë me teoremë e Ljuvilit nga mekanika e Hamiltonit, e cila përfshin parentezat e Puasonit në vend të komutatorit. Në fakt, është si rregull i përgjithshëm që një teoremë në mekanikën kuantike e cila përmban nje komutator mund të kthehet në një teoremë në mekanikën klasike duke e ndërruar komutatorin me parantezat e Puasonit dhe duke e shumëzuar me $i\hslash$.

Derivimi

Supozoni se kemi një sistem në një gjëndje kuantike $\mathrm{\Phi }$. Nëqoftëse duam të dimë derivatin kohor të çastit për vlerën mesatare të A, pra , nga përcaktimi

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{d}{dt}\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\mathrm{\Phi }d{x}^3=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3$

$=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3,$

ku po integrojmë mbi të gjithë hapësiren. Shpesh (por jo gjithmonë) operatori A është i pavarur nga koha, kështu që derivati i tij është zero dhe ne mund ta neglizhojmë termin e mesit. Po të aplikojmë ekuacionin e Shrodingerit, gjejmë se

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }H\mathrm{\Phi }$

dhe

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}=\frac{-1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}{H}^{*}=\frac{-1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}H.$Stampa:Ref

Vini re qe $H=H^{*}$ sepse Hamiltoniani është hermitian. Duke e vendosur këtë në ekuacionin e mësipërm kemi

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(AH-HA)\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩.$

Shembull i përgjithshëm

Për një shembull të përgjithshëm të një thërrmije masive që lëviz në një potencial, Hamiltoniani është thjesht

$H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$

ku x është thjesht pozicioni i thërrmijës. Supozoni se duam të dimë ndyshimin e çastit të momentit p. Duke përdorur teoremën e Ehrenfestit, kemi

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,H]⟩+⟨\frac{\partial p}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,V(x,t)]⟩$

meqënëse p komuton me vetveten dhe meqënëse kur paraqitet në hapesiren kordinative, operatori i momentit $p=-i\hslash \mathrm{\nabla }$ then $\frac{\partial p}{\partial t}=0$. Gjithashtu

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\nabla }(V(x,t)\mathrm{\Phi })d{x}^3.$

Pasi zbatojmë rregullin e prodhimit, marrim

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=⟨-\mathrm{\nabla }V(x,t)⟩=⟨F⟩,$

të cilin e njohim menjëherë si ligjin e dyte te Njutonit. Kjo është një shembull i parimit të korrespondencës, rezultati shfaqet si ligji i dytë i Njutonit në rastin kur ka shume thërrmija saqë lëvizja totale e trupit jepet nga vlera mesatare e një thërrmije të vetme.

Shënime

1. Në notacionin Bra-ket

$\frac{\partial }{\partial t}⟨\varphi |x⟩=\frac{-1}{i\hslash }⟨\varphi |\hat{H}|x⟩=\frac{-1}{i\hslash }⟨\varphi |x⟩H=\frac{-1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}H$

ku $\hat{H}$ është operatori Hamiltonian , dhe H është Hamiltoniani i cili paraqitet në hapësiren kordinative (si në rastin e derivimit më lart). Në fjalë të tjera, pasi aplikuam operatorin e adjuguar mbi të gjithë ekuacionin e Shrodingerit, kjo ndryshoi radhen e zbatimit për H dhe $\mathrm{\Phi }$.