Seritë formale potenciale

Seritë formale potenciale mundësojnë aplikimin e koncepteve nga Analiza matematike pra të serive potenciale të cilat nuk e shqyrtojnë konvergjencën. S.F.P. kanë zbatim të madh në Kombinatorikë, ata mundësojnë paraqitjen kompakte të një vargu, dhe për paraqitjen e formulave eksplicite për vargjet e përkufizuara me formula rekurente si p.sh Vargu i Fibonaccit kjo metodë quhet edhe metodë e Funksioneve gjeneratrisa.

Përkufizimi joformal

Një S.F.P. mund të kuptohet si polinom me pafund shumë terma ose si një Seri e Taylorit, për të cilën nuk na intereson çështja e konvergjencës. P.sh e shqyrtojmë serinë si seri formale

$A=1-3x+5x^2-7x^3+9x^4-11x^5+\cdots .$

i vërejmë vetëm koeficientët e saj [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. pra seria nënkuptohet me vargun koeficientëve të saj.

Aritmetika e S.F.P. është si ajo e polinomeve. P.sh. nëse

$B=2x+4x^3+6x^5+\cdots ,$

atëherë për mbledhjen e serive kemi:

$A+B=1-x+5x^2-3x^3+9x^4-5x^5+\cdots .$

ndërsa për shumëzimin kemi:

$AB=2x-6x^2+14x^3-26x^4+44x^5+\cdots .$

Nëse e kemi përkufizuar shumëzimin atëherë mund ta përcaktojmë edhe elementin inverz të serisë. Inverzi i serisë A është seria C e tillë që AC = 1, supozohet se një seri e tillë ekziston. Pra nëse A ka inverzin e saj në lidhje me shumëzimin ai është i vetëm dhe shënohet me A ⁻¹. Pjestimi i serive formale potenciale shënojmë me B / A prodhimin B A ⁻¹, duke supozuar se ekziston inverzi i A . Për shembull mund të shfrytëzojmë përkufizimin e shumëzimit të dhënë më sipër për të vërtetuar se vlen formula

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots .$

Një operacion tjetër i rëndësishëm me seri formale është përcaktimi i koeficientëve të saj është operacioni i gjetjes së koeficientit pranë xⁿ, i cili shënohet me [xⁿ] A, ashtuqë [x²] A = 5 dhe [x⁵] A = −11. Një shembull tjetër është

$[x^3]B=4,[x^2](x+3x^2{y}^3+10y^6)=3y^3,\text{ dhe }[x^2{y}^3](x+3x^2{y}^3+10y^6)=3$

dhe

$[x^n]\frac{1}{1+x}=(-1{)}^n\text{ dhe }[x^n]\frac{x}{(1-x{)}^2}=n.$