Logaritmet

Në matematikë, logaritmi është funksioni i anasjelltë i eksponencimit. Kjo do të thotë se nëse një numër a ngrihet në fuqi b për të dhënë numrin x, me anën e logaritmit me bazë a mbi numrin x ne gjejmë fuqinë b.

Për ta shtjelluar konceptin e logaritmit po japim këta shembuj:

Shembulli 1

Logaritmi i 1000 në bazën 10 është 3, sepse 10 në fuqi me 3 na jep 1000 : Ashtu 10 × 10 × 10 = 1000 ;

Pra log₃(1000)=10 sepse 10³=1000

Shembulli 2

Logaritmi i 32 në bazën 2 është 5 sepse 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Pra, log₂32=5 sepse 2⁵=32

Në gjuhën e fuqive : 10³ = 1000, pra log₁₀1000  = 3, dhe 2⁵ = 32, pra log₂32 = 5.

Logaritmi i x në bazën b shkruhet me log_b(x) ,

$\text{ po qe se }x=b^y,\text{ atehere }y={\log }_b(x).$

Vetitë e logaritmeve

Le të jenë x dhe b numra realë pozitivë, atëherë ekziston vetëm një numër real log_b(x). Vlera absolute e bazës duhet të jetë e ndryshme nga 0 dhe nga 1 ; zakonisht për bazë merret numri 10, numri e, ose numri 2.

Veti kryesore e logaritmeve është që ata shumëzimin e kthejnë në mbledhje. Kjo sepse :

$b^x\times b^y=b^{x+y},$

pas logaritmit kemi

${\log }_b(b^x\times b^y)={\log }_b\left(b^{x+y}\right)$ $=x+y={\log }_b\left(b^x\right)+{\log }_b\left(b^y\right).$

P. sh.

$4=2^2\Rightarrow {\log }_2(4)=2,$

$8=2^3\Rightarrow {\log }_2(8)=3,$

${\log }_2(32)={\log }_2(4\times 8)={\log }_2(4)+{\log }_2(8)=2+3=5.$

shëndrrimi i fuqizimit në shumëzim. Nga identiteti :

$c=b^{{\log }_b(c)},$

rrjedh se c është fuqi e p :

$c^p={\left(b^{{\log }_b(c)}\right)}^p=b^{p{\log }_b(c)},$

pas logaritmimit :

${\log }_b\left(c^p\right)=p{\log }_b(c).$

P.sh.

${\log }_2(64)={\log }_2(4^3)=3{\log }_2(4)=6.$

gjithashtu me ndihmën e logaritmave pjesëtimi reduktohet në zbritje dhe rrënjëzimi në pjestim. p. sh.

${\log }_2(16)={\log }_2\left(\frac{64}{4}\right)={\log }_2(64)-{\log }_2(4)=6-2=4,$

${\log }_2(\sqrt[3]{4})=\frac{1}{3}{\log }_2(4)=\frac{2}{3}.$