Numrat e Stirlingut

Numrat e Stirlingut paraqiten në shumë probleme të kombinatorikës. Këto numra i përkufizoi ose i zbuloi në shekullin e XVIII matematikani James Stirling. Ekzistojnë dy lloje numrash të tillë të cilat quhen: Numra të Stirlingut të llojit të parë dhe Numra të Stirlingut të llojit të dytë.

Shënimi

Disa lloje të ndryshme simbolesh përdoren për shënimin e numrave të Stirlingut.

$s(n,k)\text{ (signed)}$

$c(n,k)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]=|s(n,k)|\text{ (unsigned)}$

për numrat e Stirlingut të llojit të parë dhe

$S(n,k)=S_n^{(k)}=\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}.$

për numrat e Stirlingut të llojit të dytë.

Numrat e Stirlingut të llojit të parë

Numrat e pashenjë të llojit të parë

$c(n,k)=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]=|s(n,k)|=(-1{)}^{n-k}s(n,k)$

(me "s" të vogël) njehsojnë numrin e permutacioneve prej n elementeve me k cikle disjunkte.

Numrat e Stirlingut të llojit të parë (pa marrë parasysh parashenjën) janë koeficientë të zbërthimit

$(x{)}_n=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^k.$

këtu $(x{)}_n$ është faktorieli zbritës

$(x{)}_k=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1).$

. . . . . . .

$s(n,k)=[(-1{)}^{n-k}]\times [\frac{n!}{(k-1)!\times 2^{n-k}}]\times$

$[(1/(n-k)!)\times n^{n-k-1}$

$-(1/6)\times (1/(n-k-2)!)\times n^{n-k-2}$

$+(1/72)\times (1/(n-k-4)!)\times n^{n-k-3}$

$-(1/6480)\times (5/(n-k-6)!-36/(n-k-4)!)\times n^{n-k-4}$

$+(1/155520)\times (5/(n-k-8)!-144/(n-k-6)!)\times n^{n-k-5}$

$-(1/6531840)\times (7/(n-k-10)!-504/(n-k-8)!+2304/(n-k-6)!)\times n^{n-k-6}$

$+(1/1175731200)\times (35/(n-k-12)!-5040/(n-k-10)!+87264/(n-k-8)!)\times n^{n-k-7}$

$-(1/7054387200)\times (5/(n-k-14)!-1260/(n-k-12)!+52704/(n-k-10)!-186624/(n-k-8)!)\times n^{n-k-8}$

$+(1/338610585600)\times (5/(n-k-16)!-2016/(n-k-14)!+164736/(n-k-12)!-2156544/(n-k-10)!)\times n^{n-k-9}$

$-...]$

Numrat e Stirlingut të llojit të dytë

Numrat e Stirling të llojit të dytë S(n, k) (me "S" të madhe) njehsojnë numrin e particioneve të një bashkësie me n elemente në k nënbashkësi jo të zbrazëta. shuma

$B_n=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)$

është numri i ntë i Bellit.

Nëse shënojmë :$(x{)}_n=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$

(në veçanti, (x)₀ = 1 ) faktorielin zbritës, për numrat e Stirlingut të llojit të dytë kemi barazimin përkufizues

$\sum _{k=0}^{n}S(n,k)(x{)}_k=x^n.$

Lidhjet në mes numrave të Stirlingut

Numrat e Stirling të llojit të parë dhe të dytë janë inverz njëri me tjetrin:

$\sum _{n=0}^{\max \{j,k\}}(-1{)}^{n-k}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right]\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n}\right\}={\delta }_{jk}$

dhe

$\sum _{n=0}^{\max \{j,k\}}(-1{)}^{n-k}\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right\}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n}\right]={\delta }_{jk}$

ku ${\delta }_{jk}$ është simboli Delta e Kroneckerit.

Abramowitz dhe Stegun i japin këto lidhje apo formula simetrike në mes numrave të Stirlingut të llojit të parë dhe të dytë.

$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]=(-1{)}^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1+j}{n-k+j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-k}{n-k-j})\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+j}{j}\right\}$

and

$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right\}=(-1{)}^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1+j}{n-k+j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-k}{n-k-j})\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+j}{j}\right].$

Referime

• M. Abramowitz, I. Stegun (Eds.). Stirling Numbers of the First Kind., §24.1.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 824, 1972.
• Donald Knuth, Two notes on notation Stampa:Webarchive (TeX source).
• Louis Comtet, "Valeur de s(n, k)", Analyse combinatoire, Tome second (page 51), Presses universitaires de France, 1970.
• Louis Comtet, Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S.A., 1974.
• André F. Labossière, Sobalian Coefficients => ... s(n,k) as an explicit formula of first echelon ....
• Francis L. Miksa (1901–1975), Stirling numbers of the first kind, "27 leaves reproduced from typewritten manuscript on deposit in the UMT File", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 10, no. 53, January 1956, pp. 37–38 (Reviews and Descriptions of Tables and Books, 7[I]).
• Dragoslav S. Mitrinović, Sur les nombres de Stirling de première espèce et les polynômes de Stirling Stampa:Webarchive, AMS 11B73_05A19, Publications de la Faculté d'Electrotechnique de l'Université de Belgrade, Série Mathématiques et Physique (ISSN 0522-8441), no. 23, 1959 (5.V.1959), pp. 1–20.
• Victor Adamchik, "On Stirling Numbers and Euler Sums Stampa:Webarchive", Journal of Computational and Applied Mathematics 79 (1997) pp. 119–130.
• Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95–103.
• J. M. Sixdeniers, K. A. Penson, A. I. Solomon, Extended Bell and Stirling Numbers From Hypergeometric Exponentiation (2001), Journal of Integer Sequences, 4, Article 01.1.4.
• Stampa:Cite journal
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, James Stirling (1692–1770), (September 1998).