Ekuacionet kuadratike

Ekuacioni kuadratik ose barazimi i shkallës së dytë në trajtën e përgjithshme shënohet me

a x^{2} + b x + c = 0,

x ku a ≠ 0. Sepse nëse a = 0, atëherë ai është ekuacion linear.

Numrat real a, b, dhe c quhen koeficientë, ndërsa x është e panjohura e formules.

Zgjidhjet

Ç'do vlerë e të panjohurës x e cila ekuacionin kuadratik e shndërron në gjykim të saktë quhet zgjidhje e ekuacionit. Në përgjithësi ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të cilat quhen edhe rrënjë, në bashkësinë e numrave kompleks të cilat lehtë gjenden sipas të ashtuquajturës formula kuadratike :

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

,

ku simboli "±" tregon se

\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

dhe

\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

X1= dhe X2=

janë zgjidhjet.

Dallori dhe formula e tij

Shprehja që ndodhet nën shenjën e rrënjës katrore nga formula e mësipërme

D = b^{2} - 4 a c,

quhet dallori i ekuacionit kuadratik. Nga dallori varet edhe natyra e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik kemi tre raste për shqyrtim :

Nëse $D > 0$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të ndryshme reale.

\begin{matrix} x_{1} & = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \\ x_{2} & = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \end{matrix}

Nëse $D = 0$ atëherë ekuacioni ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

x = - \frac{b}{2 a} .

Nëse $D < 0$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

\begin{matrix} x_{1} & = \frac{- b}{2 a} + i \frac{\sqrt{| D |}}{2 a} \end{matrix}

ku,

\begin{matrix} | D | \end{matrix}

është vlera absolute e diskriminantës dhe

i

është

\begin{matrix} \sqrt{- 1} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} & = \frac{- b}{2 a} - i \frac{\sqrt{| D |}}{2 a} \end{matrix}

Shembuj të ndryshëm

Ekuacioni $7 x + 15 - 2 x^{2} = 0$ e ka diskriminantën pozitive $D = 169$ prandaj ai ka dy zgjidhje reale të ndryshme :

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{169}}{2 \cdot (- 2)} = 5

dhe

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{169}}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{3}{2} .

Ek $x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{3} i}{2} .$ uacioni $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ka si diskriminantë $D = 0$ prandaj ai ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

x = - \frac{- 2}{2} = 1

Ekuacioni $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ nuk ka zgjidhje reale sepse $D = - 3 < 0$ diskriminanta e tij është negative pra ky ekuacion ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{3} i}{2}

dhe :

Ekuacionet kuadratike

Zgjidhjet

Dallori dhe formula e tij

Shembuj të ndryshëm

Menuja e navigimit

Kërko