Ekuacione Diferenciale Separabile

Zgjidhja e ekuacionit diferencial në rastin e përgjithshëm do të thotë të gjenden të gjitha zgjidhjet e tij. Por kjo arrihet vetë në raste të veçanta.

Për ekuacionin diferencial themi se është integruar me anë të kuadrateve në qoftë se zgjidhja e tij e përgjithshme është marrë në formë implicite ose eksplicite e që mund të përmbaj edhe integral të funksioneve të njohura. Në shumicën e rasteve ekuacioni diferencial nuk mund të integrohet me anë të kuadraturave edhe pse dihet se zgjidhjet e tij ekzistojnë. Në raste të tilla zbatohen metodat e përafërta të cilat në shkencat aplikative dhanë rezultate të kënaqshme

Hyrje

Supozojmë dy ekuacione ƒ dhe g të vazhdueshme në lidhje me x dhe y. Atëherë ekuacioni diferencial i rendit të parë do të jetë

$\frac{dy}{dx}=f(y)g(x).$

Ekuacioni më lartë mundë të shkruhet në formën

$g(y)dy=f(x)dx.$

Ekuacioni më lartë e quajmë ekuacion me variabla të ndara ose ose shkurt ekuacione seperabile

Duke integruar të dy anët e ekuacionit marrim ekuacionin

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+C.$

Në bazë të supozimit për funksionet f dhe g rrjedh se integralet egzistojn dhe duke zgjidhur integralet marrim zgjidhjet e ekuaciomit të parë

Shembuj të ekuacioneve seperabile

1. Të gjendet zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit $(x+1)dy-x{y}^{2}dx=0.$

$\frac{dy}{y^2}=\frac{xdx}{x+1}.$

prej nga

$-\frac{1}{y}=x-ln|x+1|+C$

d.m.th

$y=\frac{1}{-x+ln|x+1|-C}$

2. Ekuacioni i gazit ideal

$PV=nRT$

P-shtypja.

V-Vëllimi.

n-Numri i Molekulave.

R-Konstantja universale e gazit.

T- Temperatura.

Duke përdorur ekuacionet diferenciale seperabile gjejm P(t)

$\frac{dV}{dt}=\frac{-nRT}{P^2}\frac{dP}{dt}$

Në kohën t=0 shtypja do të jetë P=3

$\frac{dV}{dt}=t^3$

Atëhere P(t) do të jetë.

$-t^3=\frac{-nRT}{P^2}\frac{dP}{dt}$

dhe

$P(0)=3$

$-t^{3}dt=-nRT\frac{dP}{dt}$

$\underset{0}{\overset{t_f}{\int }}{t}^{3}dt=nRT\underset{3}{\overset{P(t_f)}{\int }}\frac{dP}{dt}$

$\frac{t^4}{4}{|}_0^{t_f}=nRT(-\frac{1}{P}{|}_3^{P(t_f)})$

$\frac{t_f^4}{4}=nRT(-\frac{1}{P(t_f)}+\frac{1}{3})$

Duke zëvendësuar $t_f=t$ fitojm

$P(t)=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{t^4}{4nRT}}$

Perdorimi i ekuacioneve seperabile

Perdorimi i ekuacioneve diferenciale seperabile është i shumtë.

• Fizik
• Kimi
• Inxhinieri Elektrike
• Inxhinieri Mekanike
• Shkenca Kompjuterike dhe
• Në shumë drejtime tjera të shkencave aplikative

Referime

• Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)