Vlera absolute

Vlera absolute e nje numri mund te konsiderohet si distanca e tij nga zero-ja.

Në matematikë vlera absolute ose moduli |x| i një numri real x është vlera jo-negative e x pa marrë në konsideratë shenjën e tij. Si rrjedhim për numrat pozitive, më të mëdhenj se zero, |x| = x, ndërsa për numrat negative |x| = -x, dhe për numrin zero |0| = 0. Në boshtin numerik vlera absolute e një numri mund të konsiderohet si largësia e tij nga zeroja.

Përgjithësime të vlerës absolute të numrave reale mund të bëhen dhe për bashkësi të tjera numrash si psh për numrat komplekse, hapësirat vektoriale, fushat etj. Koncepti i Vlerës Absolute është i lidhur me konceptet e magnitudës, distancës, normës.

Terminologji

Jean-Robert Argand përdori për herë të parë termin "module", dmth 'njësi matëse' në Frëngjisht, në vitin 1806 për vlerën absolute të numrave kompleks . Më pas në 1866 ky term u huazua në Anglisht si ekuivalenti Latin i fjalës "modulus". Termi "modul" në frëngjisht u përdor në këtë kuptim nga viti 1806 dhe në anglisht "absolute value" nga viti 1857 .

Shënimi matematikor ose simboli me dy vija vertikale |X| u përdor për herë të parë nga Karl Weierstrass in 1841.. Emërtime të tjera për vlerën absolute janë "vlera numerike" dhe "magnituda".

I njëjti simbol është përdorur në bashkësitë për të treguar kardinalitetin e bashkësisë. Kuptimi i simbolit varet nga konteksi i përdorimit.

Përkufizimi dhe vetitë

Numrat Reale

Përkufizimi

Për cdo numër real x vlera absolute e tij shënohet me |x| dhe përkufizohet si: $|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0.\end{array}$.

Vlera absolute e një numri real x është gjithmonë një numër pozitiv ose 0, por asnjëherë numër negativ.

Vëmë re që $|x|=\max (x,-x)$.

Vetitë

Për cdo numër real a dhe b vlera absolute gëzon vetitë e mëposhtme:

• $|a|⩾0$
• $|a|=0\iff a=0$
• $|ab|=|a|\times |b|$
• $\text{Si }b\ne 0,\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$
• $|a+b|⩽|a|+|b|$ (mosbarazim trekëndorsh)
• $|a-b|⩾||a|-|b||$ (mosbarazim trekëndorsh)
• $\left|\sum _{i=1}^n{a}_i\right|⩽\sum _{i=1}^n|a_i|$ (mosbarazim trekëndorsh i përgjithësuar për një familje numrash $(a_i{)}_{1⩽i⩽n}$)
• $|a|=\sqrt{a^2}$
• $|a|⩽b\iff -b⩽a⩽b$ (ku b një numër real pozitiv, nëse b është negativ nuk ka zgjidhje)
• $|a|⩾b\iff a⩽-b\text{ ou }a⩾b$ (nëse b është negativ, atëherë zgjidhje jane të gjithë numrat real)