Integralet jo te vete

Integralet jo të vetë

Integrali i f(x) nga a në b është syprina sipër aksit x poshtë lakores y = f(x), minus syprinën poshtë aksit x dhe sipër lakores, për x në intervalin [a,b].

Në përkufizimin e integralit te caktuar : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ supozohej se intervali [a,b] është I fundëm, ndërsa funksioni f(x) të jetë I vazhdueshëm në këtë interval.Mirëpo problemet e ndryshme,si ato teorike ashtu edhe ato praktike,shpesh na sjellin deri te integrali I caktuar I funksionit në interval të pafundëm apo te integrali I caktuar I funksionit që ka shkëputje në intervalin [a,b].Integralet e tillë I quajmë integrale jo të vetë.

Integrali jo i vetë me kufij të pafundëm

Le të jetë f një funksion i vazhdueshem në intervalin e pafundëm [a,$\mathrm{\infty }$ ).Integrali jo i vetë i funksionit f të vazhdueshëm në [a,$\mathrm{\infty }$ ) e quajme limitin e integralit : $\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$ kur t→$\mathrm{\infty }$ dhe simbolikisht shkruajmë:

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$

Në qoftë se ekziston ky limit dhe është i fundëm,atëherë themi se integrali jo i vetë $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konvergjon,në raste tjera themi se integrali jo i vetë divergjon. Në mënyrë analoge përkufizohet edhe integrali jo i vetë me kufirin e poshtëm të pafundëm:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{t}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin e pafundem ($\mathrm{\infty }$,$-\mathrm{\infty }$),atëherë integrali:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.

konvergjon kur të dy integralet në anën e djathtë të barazimit konvergjojnë,ndërsa c është një numër i çfarëdoshëm.

Në shumë probleme si praktike ashtu edhe teorike paraqitet rasti kur funksioni primitiv i funksionit nënintegral nuk është funksion elementar,por nevojitet të dihet se integrali jo i vetë i tillë a konvergjon apo divergjon.Prandaj,ngjashëm me seritë numerike,pa e njehesuar integralin jo të vetë,me kritere krahasuese,mund te konkludohet se a konvergjon apo divergjon.

Teoremë

Le të jenë f dhe g dy funksione të tilla që për çdo x $\in$ (a,$\mathrm{\infty }$) vlen 0 $\le$ f(x) $\le$ g(x).Atëherë,

(I) në qoftë se konvergjon $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$ ,konvergjon dhe $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$;

(II) në qoftë se divergjon $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ ,divergjon dhe $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)dx$;

Në qoftë se $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ konvergjon, atëherë konvergjon edhe $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.

Për integralin $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ themi se konvergjon absolutisht në qoftë se konvergjon integrali $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ .Në qoftë se $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ divergjon, por $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konvergjon,atëherë themi se integrali $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ konvergjon joabsolutisht.

Integrali jo i vetë i funksionit të pakufizuar

Integral jo i vetë është edhe integrali me kufij të fundëm të integrimit, por funksioni nënintegral është i pakufizuar në një pikë apo në një numër të fundëm pikash të intervalit të intgrimit.

Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në [a,b) dhe le të jetë :$\underset{x\to b-}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ ose  :$\underset{x\to b-}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ .Atëherë integrali :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ = $\underset{t\to b-}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$ , (a $\le$ t < +$\mathrm{\infty }$)

konvergjon sa herë që limiti në anën e djathtë të barazimit të mësipërm të ekziston.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin [a,b] përveç në pikën c, a<c<b dhe $\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=\mathrm{\infty }$ , atëherë integrali jo i vetë:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$=$\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$ + $\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ ,konvergjon, në qofte se të dy integralet në anën e djathte te barazimit konvergjojnë.Përkufizimi i fundit mund të përgjithsohet edhe në rastin kur funksioni f në intervalin [a,b] ka një numër të fundëm pikash c_i (i=1,2,...,n) për të cilat :$\underset{x\to ci}{\lim }|f(x)|=\mathrm{\infty }$

Në qoftë se në intervalin [a,b) funksionet f dhe g janë të tilla që $\underset{x\to b-}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ dhe :$\underset{x\to b-}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$ si dhe 0 $\le f(x)\le g(x)$ , atëherë :

(I) në qoftë se konvergjon $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$ ,konvergjon dhe $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ ;

(II) në qoftë se divergjon $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ ,divergjon dhe $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$ .