Teorema e kosinusit

Brinjët dhe këndet e një trekëndëshi të çfarëdoshëm

Teorema e kosinusit përdoret për gjetjen e brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit të çfarëdoshëm. Ajo është përgjithësim i teoremës së famshme të Pitagorës e cila vlen për trekëndëshin këndrejt. Teorema njihet edhe me emrin "Teorema e Al-Kashit" dhe me fjalë ajo mund të formulohet si vijon:

Te çdo trekëndësh katrori i çdo brinje është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve tjera i zvogëluar për dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit përballë asaj brinje.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Teorema është përgithësim i teoremës së Pitagorës e cila vlen nëse trekëndëshi ka një kënd të drejtë nëse supozojmë se p.sh. këndi γ është i drejtë 90°= π/2 radian atëherë cos(γ) = 0, prandaj

$c^2=a^2+b^2$

Ky barazim paraqet teoremën e Pitagorës.

Zbatimi

Teorema përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit

• Në rast se janë dhënë tre brinjët e tij për gjetjen e këndeve

$\gamma ={\cos }^{-1}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};$

• Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi në mes tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )};$

• Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi përballë njërës prej tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

$a=b\cos (\gamma )\pm \sqrt{c^2-b^2{\sin }^2(\gamma )}.$

Formulat nuk paraqiten teresisht ne kete forme

Vërtetimi i teoremës

Lëshojmë lartësinë mbi brinjën c atëherë nga figura kemi

$c=a\cos (\beta )+b\cos (\alpha ).$

Nëse të njejtën gjë e përsërisim për lartësitë tjera atëherë kemi

$b=c\cos (\alpha )+a\cos (\gamma ).$

$c=a\cos (\beta )+b\cos (\alpha ).$

Barazimin e parë e shumëzojmë me c të dytin me b dhe të tretin me a atëherë fitojmë

$c^2=ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha ).$

$a^2=ac\cos (\beta )+ab\cos (\gamma ),$

$b^2=bc\cos (\alpha )+ab\cos (\gamma ).$

I mbledhim dy barazimet e fundit atëherë kemi

$a^2+b^2=ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha )+2ab\cos (\gamma )$.

Prej këtij barazimi e zbresim të parin atëherë fitojmë

$a^2+b^2-c^2=-ac\cos (\beta )-bc\cos (\alpha )+ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha )+2ab\cos (\gamma )$

nga barazimi i fundit pas thjeshtimeve të mundshme fitojmë se

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma ).$