Funksioni integral logaritmik

Në matematikë, funksioni integral logaritmik ose logaritmi integral li( x ) është një funksion i veçantë . Është i rëndësishëm dhe u përket shumë problemeve të fizikës dhe ka rëndësi në teorinë e numrave . Në veçanti, sipas teoremës së numrave të thjeshtë, është një përafrim shumë i mirë me funksionin e numërimit të numrave të thjeshtë , i cili përcaktohet si sasia e numrave të thjeshtë më pak ose i barabartë me një vlerë të caktuar. $x$ .

Grafiku i funksionit integral logaritmik

Përfaqësimi integral

Integrali logaritmik ka një paraqitje në trajtë integrali për të gjithë numrat realë pozitivë x ≠ 1 të dhënë nga integrali i caktuar

$\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

Këtu, $\ln$ paraqet logaritmin natyror . Funksioni $\frac{1}{\ln t}$ ka një pol për $t=1$ dhe integrali për $x>1$ interpretohet si një vlerë kryesore Koshi ,

$\mathrm{li}(x)=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}).$

Integrali logaritmik i mënjanuar

Integrali logaritmik i mënjanuar ose integrali logaritmik Eulerian përkufizohet si

$\mathrm{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2).$

Si i tillë, përfaqësimi integral ka përparësinë e shmangies së polit në fushën e integrimit.

Përfaqësimi sipas serive

Funksioni li( x ) lidhet me integralin eksponencial Ei( x ) nëpërmjet ekuacionit

$\text{li}(x)=\text{Ei}(\ln x),$

i cili vlen për x > 0. Ky identitet ofron një paraqitje serike të li( x ) të dhënë si:

$\mathrm{li}(e^u)=\text{Ei}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n\cdot n!}\text{ for }u\ne 0,$

ku γ ≈ 0,57721 56649 01532 . . . OEIS : A001620 është konstantja e Euler-Maskeronit . Një seri konvergjente më e shpejtë nga Ramanujani është

$\mathrm{li}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

Domethënia për teorinë e numrave

Integrali logaritmik është i rëndësishëm në teorinë e numrave, duke u paraqitur në vlerësimet e sasisë së numrave të thjeshtë më të vegjël se një vlerë e dhënë. Për shembull, teorema e numrave të thjeshtë thotë se:

$\pi (x)\sim \mathrm{li}(x)$

ku $\pi (x)$ tregon numrin e numrave të thjeshtë më të vegjël ose të barabartë me $x$ .

Duke supozuar hipotezën e Riemann-it, marrim një lidhje dhe më të fortë:

$\mathrm{li}(x)-\pi (x)=O(\sqrt{x}\log x)$

Për vlera të vogla të $x$-it, $\mathrm{li}(x)>\pi (x)$ por ndryshesa kthen shenjë një numër i pafundëm herësh me rritjen e $x$-it, dhe hera e parë që ndodh është diku midis 10 ¹⁹ dhe 1.4×10 ³¹⁶ .