Shpërndarja Normale-Wishart

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikat , shpërndarja normale-Wishart (ose shpërndarja Gausiane-Wishart ) është një familje shumëndryshore me katër parametra të shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit . Është parësori i konjuguar i një shpërndarjeje normale shumëvariate me mesatare të panjohur dhe matricë saktësie (inversi i matricës së kovariancës ).

Përkufizimi

Supozojmë se

$\mathit{\mu }|{\mathit{\mu }}_0,\lambda ,\mathrm{\Lambda }\sim 𝒩({\mathit{\mu }}_0,(\lambda \mathrm{\Lambda }{)}^{-1})$

ka një shpërndarje normale multivariate me mesatare ${\mathit{\mu }}_0$ dhe matricës së kovariancës $(\lambda \mathrm{\Lambda }{)}^{-1}$, ku

$\mathrm{\Lambda }|𝐖,\nu \sim 𝒲(\mathrm{\Lambda }|𝐖,\nu )$

ka një shpërndarje Wishart . Pastaj $(\mathit{\mu },\mathrm{\Lambda })$ ka një shpërndarje normale-Wishart, e cila shënohet si

$(\mathit{\mu },\mathrm{\Lambda })\sim \mathrm{N}\mathrm{W}({\mathit{\mu }}_0,\lambda ,𝐖,\nu ).$

Karakterizimi

Funksioni i densitetit të probabilitetit

$f(\mathit{\mu },\mathrm{\Lambda }|{\mathit{\mu }}_0,\lambda ,𝐖,\nu )=𝒩(\mathit{\mu }|{\mathit{\mu }}_0,(\lambda \mathrm{\Lambda }{)}^{-1})𝒲(\mathrm{\Lambda }|𝐖,\nu )$

Vetitë

Shpërndarjet margjinale

Nga ndërtimi, shpërndarja margjinale mbi $\mathrm{\Lambda }$ është një shpërndarje Wishart, dhe shpërndarja e kushtëzuar mbi $\mathit{\mu }$ dhënë $\mathrm{\Lambda }$ është një shpërndarje normale me shumëvariate . Shpërndarja margjinale mbi $\mathit{\mu }$ është një shpërndarje Studenti shumëvariate .

Shpërndarja e pasme e parametrave

Pas bërjes së $n$ vëzhgimeve ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$, shpërndarja e pasme e parametrave është

$(\mathit{\mu },\mathrm{\Lambda })\sim \mathrm{N}\mathrm{W}({\mathit{\mu }}_n,{\lambda }_n,{𝐖}_n,{\nu }_n),$

ku përkatësisht

${\lambda }_n=\lambda +n,$

${\mathit{\mu }}_n=\frac{\lambda {\mathit{\mu }}_0+n\overline{𝒙}}{\lambda +n},$

${\nu }_n=\nu +n,$

${𝐖}_n^{-1}={𝐖}^{-1}+\sum _{i=1}^n({𝒙}_i-\overline{𝒙})({𝒙}_i-\overline{𝒙}{)}^T+\frac{n\lambda }{n+\lambda }(\overline{𝒙}-{\mathit{\mu }}_0)(\overline{𝒙}-{\mathit{\mu }}_0{)}^T.$

Gjenerimi i variacioneve të rastësishme normale-Wishart

Gjenerimi i variateve të rastit është i menjëhershëm:

1. Kampiono $\mathrm{\Lambda }$ nga një shpërndarje Wishart me parametra $𝐖$ dhe $\nu$
2. Kampiono $\mathit{\mu }$ nga një shpërndarje normale shumëvariate me mesatare ${\mathit{\mu }}_0$ dhe variancë $(\lambda \mathrm{\Lambda }{)}^{-1}$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Shpërndarja normale-e anasjelltë Wishart është në thelb e njëjta shpërndarje e parametrizuar nga varianca dhe jo nga saktësia.
• Shpërndarja normale-gama është ekuivalenti njëdimensional.
• Shpërndarja normale me shumëvariate dhe shpërndarja Wishart janë shpërndarjet përbërëse nga të cilat është bërë kjo shpërndarje.