Shpërndarja Kantor

Shpërndarja e Kantorit është një shpërndarje probabilitare funksioni mbledhës i shpërndarjes të së cilës është funksioni i Kantorit.

Kjo shpërndarje nuk ka as një funksion të densitetit të probabilitetit dhe as një funksion të masës së probabilitetit, pasi megjithëse funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është një funksion i vazhdueshëm, shpërndarja nuk është absolutisht e vazhdueshme në lidhje me masën e Lebegut. Pra, nuk është as një shpërndarje probabiliteti diskrete dhe as absolutisht e vazhdueshme, dhe as nuk është një përzierje e këtyre. Përkundrazi është një shembull i një shpërndarjeje njëjës .

Karakterizimi

Bashkësia e përcaktimit e shpërndarjes Kantor është bashkësia Kantor, në vetvete kryqëzimi i bashkësive(të pafundme dhe të numërueshme ):

$\begin{array}{cc}{C}_0=& [0,1]\\ C_1=& [0,1/3]\cup [2/3,1]\\ C_2=& [0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\ C_3=& [0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\ & [2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\ C_4=& [0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\ & [8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\ & [62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\ C_5=& \cdots \end{array}$

Shpërndarja Kantor është shpërndarja unike e probabilitetit për të cilën për çdo $C_t$ ( $t\in \{0,1,2,...\}$), probabiliteti i një intervali të caktuar në $C_t$ që përmban ndryshoren e që ndjek ligjin Kantor është identikisht $2^{-t}$ në secilin nga intervalet $2^t$ .

Momentet

Është e lehtë të shihet nga simetria dhe duke qenë i kufizuar se për një ndryshore të rastit $X$ që ka këtë shpërndarje, pritja e saj matematike $E[X]=1/2$, dhe se të gjitha momentet qendrore teke të $X$ janë 0.

Ligji i variancës së plotë mund të përdoret për të gjetur variancën $\mathrm{Var}(X)$, si më poshtë. Për grupin e mësipërm $C_1$, le të jetë $Y=0$ nëse $X\in [0,1/3]$ dhe 1 nëse $X\in [2/3,1]$. Pastaj:

$\begin{array}{cc}\mathrm{var}(X)& =\mathrm{E}(\mathrm{var}(X\mid Y))+\mathrm{var}(\mathrm{E}(X\mid Y))\\ & =\frac{1}{9}\mathrm{var}(X)+\mathrm{var}\left\{\begin{array}{cc}1/6& \text{me probabilitet}1/2\\ 5/6& \text{me probabilitet}1/2\end{array}\right\}\\ & =\frac{1}{9}\mathrm{var}(X)+\frac{1}{9}\end{array}$

Nga kjo marrim:

$\mathrm{var}(X)=\frac{1}{8}.$