Pabarazia e Benetit

Në teorinë e probabilitetit, pabarazia e Benetit siguron një kufi të sipërm në probabilitetin që shuma e ndryshoreve rasti të pavarura të shmanget nga pritja matematike e saj me më shumë se çdo shumë e specifikuar. Pabarazia e Benetit u vërtetua nga George Bennett i Universitetit të Uellsit të Ri Jugor në 1962.

Pohimi

Le të jenë Stampa:Mvar ndryshore të rastit të pavarura me variancë të fundme. Më tej supozoni Stampa:Math pothuajse me siguri për të gjithë i, dhe përcaktoni $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i-\mathrm{E}(X_i)$ dhe ${\sigma }^2=\sum _{i=1}^n\mathrm{E}(X_i-\mathrm{E}{X}_i{)}^2.$ Pastaj për çdo t ≥ 0 ,

$\mathrm{Pr}(S_n>t)\le \exp (-\frac{{\sigma }^2}{a^2}h\left(\frac{at}{{\sigma }^2}\right)),$

ku Stampa:Math dhe log shënon logaritmin natyror.

Shembull

Supozoni se çdo Stampa:Math është një ndryshore e rastit e pavarur dyjare me probabilitet p . Atëherë pabarazia e Benetit pohon se:

$\mathrm{Pr}(\sum _{i=1}^n{X}_i>pn+t)\le \exp (-nph\left(\frac{t}{np}\right)).$

Për $t\ge 10np$, $h(\frac{t}{np})\ge \frac{t}{2np}\log \frac{t}{np},$ kështu që

$\mathrm{Pr}(\sum _{i=1}^n{X}_i>pn+t)\le {\left(\frac{t}{np}\right)}^{-t/2}$

për $t\ge 10np$ .

Në të kundërt, pabarazia e Hoeffding jep një kufi të $\exp (-2t^2/n)$ dhe pabarazia e parë e Bernsteinit jep një kufi të $\exp (-\frac{t^2}{2np+2t/3})$ . Për $t\gg np$, jep pabarazia e Hoeffding $\exp (-\mathrm{\Theta }(t^2/n))$, jep Bernstein $\exp (-\mathrm{\Theta }(t))$, dhe Bennett jep $\exp (-\mathrm{\Theta }(t\log \frac{t}{np}))$ .