Mesatarja gjeometrike

Në matematikë, mesatarja gjeometrike është një mesatare që tregon një prirje qendrore të një bashkësie të fundme numrash realë duke përdorur shumëzimin e tyre (në krahasim me mesataren aritmetike që përdor shumën e tyre). Mesatarja gjeometrike përcaktohet si rrënja me indeks <i>n</i> e shumëzimit të n numrave, dmth, për një grup numrash $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ , mesatarja gjeometrike përcaktohet si

{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}

ose, në mënyrë të njëvlershme, si mesatarja aritmetike në shkallë logaritmike :

e^{(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \ln a_{i})}

Më së shpeshti numrat kufizohen në të qënit jo-negativë, për të shmangur ndërlikimet që lidhen me numrat negativë, të cilët nuk kanë rrënjë reale, dhe shpesh ato kufizohen në të qënit pozitiv, për të mundësuar përdorimin e logaritmeve.

Për shembull, mesatarja gjeometrike e dy numrave, le të themi 2 dhe 8, është vetëm rrënja katrore e shumëzimit të tyre, domethënë, $\sqrt{2 \cdot 8} = 4$ . Si shembull tjetër, mesatarja gjeometrike e tre numrave 4, 1 dhe 1/32 është rrënja kubike e shumëzimit të tyre (1/8), e cila është 1/2, domethënë, $\sqrt[3]{4 \cdot 1 \cdot 1 / 32} = 1 / 2$ .

Mesatarja gjeometrike mund të kuptohet në termat e gjeometrisë . Mesatarja gjeometrike e dy numrave, $a$ dhe $b$ , është gjatësia e njërës anë të një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me brinjë të gjatësisë $a$ dhe $b$ . Në mënyrë të ngjashme, mesatarja gjeometrike e tre numrave, $a$ , $b$ , dhe $c$ , është gjatësia e një skaji të një kubi, vëllimi i të cilit është i njëjtë me atë të një kuboidi me brinjë, gjatësia e të cilave është e barabartë me tre numrat e dhënë.

Llogaritja

Mesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ jepet nga:

{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} .

^[3]

Krahasimi me mesataren aritmetike

Stampa:AM GM inequality visual proof.svg Stampa:QM AM GM HM inequality visual proof.svgMesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash jo bosh numrash (pozitiv) është gjithmonë e shumta e barabartë me mesataren e tyre aritmetike. Barazia merret vetëm kur të gjithë numrat në bashkësinë e të dhënave janë të barabartë; përndryshe, mesatarja gjeometrike është më e vogël. Për shembull, mesatarja gjeometrike e 2 dhe 3 është 2,45, ndërsa mesatarja aritmetike e tyre është 2,5. Në veçanti, kjo do të thotë se kur një grup numrash jo identikë i nënshtrohet një përhapjeje të ruajtjes së mesatares - domethënë, elementët e grupit "ndahen" më shumë nga njëri-tjetri duke lënë mesataren aritmetike të pandryshuar - mesatarja e tyre gjeometrike zvogëlohet. ^[4]

Shëmbuj

Shembuj të mesatares gjeometrike të shënuar me $இ (A)$ për një bashkësi numrash A.

Për shëmbull, jepen numrat $x_{1} = 5, x_{2} = 20$ , atëherë mesatarja e tyre gjeometrike është:

$இ = \sqrt{x 1 * x 2} = \sqrt{5 * 20} = \sqrt{100} = 10$

Për tre numra të bashkësisë A, $A = {3, 5, 9}$ , mesatarja gjeometrike është rrënja me indeks 3 (sepse aq numra ka bashkësia) e prodhimit të tyre.

$இ (A) = \sqrt[3]{3 * 5 * 9} = \sqrt[3]{135}$

Nga ku marrim:

$\sqrt[3]{135} \approx 5.082$