Mosbarazimi Hermite-Hadamard

Në matematikë, mosbarazimi Hermite-Hadamard, i quajtur pas Charles Hermite dhe Jacques Hadamard dhe ndonjëherë i quajtur edhe mosbarazimi i Hadamardit, thotë se nëse një funksion $f:[a,b]\mapsto ℝ$ është konveks, atëherë qëndron zinxhiri i mëposhtëm i mosbarazimeve:

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Mosbarazimi është përgjithësuar në dimensione më të larta: nëse $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ është një fushë e kufizuar, konvekse dhe $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ është një funksion konveks pozitiv, atëherë

$\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx\le \frac{c_n}{|\partial \mathrm{\Omega }|}\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f(y)d\sigma (y)$

ku $c_n$ është një konstante në varësi vetëm nga dimensioni.

Një përfundim mbi integralet e tipit Vandermonde

Supozoni se $-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }$, dhe zgjidhni n vlera të dallueshme $\{x_j{\}}_{j=1}^n$ nga $(a,b)$ . Le të jetë $f:[a,b]\mapsto ℝ$ konveks, dhe le shënojmë me $I$ veprimin "integralin që fillon nga a " ; kjo është,

$(If)(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ .

Pastaj,

$\sum _{i=1}^n\frac{(I^{n-1}F)(x_i)}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}\le \frac{1}{n!}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$

Barazia vlen për të gjitha $\{x_j{\}}_{j=1}^n$ nëse $f$ është linear, dhe për të gjitha $f$ nëse $\{x_j{\}}_{j=1}^n$ është konstante, në kuptimin që

$\underset{\{x_j{\}}_j\to \alpha }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{(I^{n-1}F)(x_i)}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}=\frac{f(\alpha )}{(n-1)!}$

Rezultati vjen nga induksioni për $n$ .