Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Në matematikë, metoda e koeficientëve të pacaktuar është një qasje për të gjetur një zgjidhje të veçantë për disa ekuacione diferenciale jo-homogjene të zakonshme dhe marrëdhëniet e rekurencës . Është e lidhur ngushtë me metodën e asgjësuesit, por në vend që të përdoret një lloj i veçantë operatori diferencial (asgjësuesi) për të gjetur formën më të mirë të mundshme të zgjidhjes së caktuar, bëhet një ansatz ose 'supozim' për formën e duhur, i cili më pas testohet duke diferencuar ekuacionin që rezulton. Për ekuacionet komplekse, metoda e asgjësuesit ose ndryshimi i parametrave kërkon më pak kohë për t'u kryer.

Përshkrimi i metodës

Konsideroni një ekuacion diferencial të zakonshëm jo-homogjen linear të formës

\sum_{i = 0}^{n} c_{i} y^{(i)} + y^{(n + 1)} = g (x)

ku

y^{(i)}

tregon derivatin i-të të

y

, dhe

c_{i}

tregojnë një funksion të

x

.

Metoda e koeficientëve të pacaktuar ofron një metodë të drejtpërdrejtë për marrjen e zgjidhjes për këtë EDZ kur plotësohen dy kritere: ^[1]

$c_{i}$ janë konstante.
$g (x)$ është një funksion konstant, një funksion polinomial, funksion eksponencial $e^{α x}$ , funksionet e sinusit ose kosinusit $\sin β x$ ose $\cos β x$ , ose shuma dhe produkte të fundme të këtyre funksioneve ( $α$ , $β$ konstante).

Metoda konsiston në gjetjen e zgjidhjes së përgjithshme homogjene $y_{c}$ për ekuacionin diferencial homogjen linear plotësues

\sum_{i = 0}^{n} c_{i} y^{(i)} + y^{(n + 1)} = 0,

dhe një integral të veçantë $y_{p}$ të EDZ jo-homogjen linear bazuar në $g (x)$ . Pastaj zgjidhja e përgjithshme $y$ të EDZ jo-homogjen linear do të ishte

y = y_{c} + y_{p} .

^[2]

Nëse $g (x)$ jepet si shuma e dy funksioneve $h (x) + w (x)$ dhe thuhet se $y_{p_{1}}$ është zgjidhja e bazuar në $h (x)$ dhe $y_{p_{2}}$ zgjidhja e bazuar në $w (x)$ . Pastaj, duke përdorur parimin e mbivendosjes, mund të themi se integrali i veçantë $y_{p}$ është ^[2]

y_{p} = y_{p_{1}} + y_{p_{2}} .

Format tipike të integralit të veçantë

Funksioni i x	Trajta për y
$k e^{a x}$	$C e^{a x}$
$k x^{n}, n = 0, 1, 2, \dots$	$\sum_{i = 0}^{n} K_{i} x^{i}$
$k \cos (a x) or k \sin (a x)$	$K \cos (a x) + M \sin (a x)$
$k e^{a x} \cos (b x) or k e^{a x} \sin (b x)$	$e^{a x} (K \cos (b x) + M \sin (b x))$
$(\sum_{i = 0}^{n} k_{i} x^{i}) \cos (b x) or (\sum_{i = 0}^{n} k_{i} x^{i}) \sin (b x)$	$(\sum_{i = 0}^{n} Q_{i} x^{i}) \cos (b x) + (\sum_{i = 0}^{n} R_{i} x^{i}) \sin (b x)$
$(\sum_{i = 0}^{n} k_{i} x^{i}) e^{a x} \cos (b x) or (\sum_{i = 0}^{n} k_{i} x^{i}) e^{a x} \sin (b x)$	$e^{a x} ((\sum_{i = 0}^{n} Q_{i} x^{i}) \cos (b x) + (\sum_{i = 0}^{n} R_{i} x^{i}) \sin (b x))$

Shembuj

Shembulli 1

Gjeni një integral të caktuar të ekuacionit

y^{″} + y = t \cos t .

Ana e djathtë $t \cos t$ ka formën

P_{n} e^{α t} \cos β t

me $n = 2,, α = 0, β = 1$ .

Meqenëse $α + i β = i$ është një rrënjë e thjeshtë e ekuacionit karakteristik

λ^{2} + 1 = 0

duhet të provojmë një integral të veçantë të formës

\begin{matrix} y_{p} & = t [F_{1} (t) e^{α t} \cos β t + G_{1} (t) e^{α t} \sin β t] \\ = t [F_{1} (t) \cos t + G_{1} (t) \sin t] \\ = t [(A_{0} t + A_{1}) \cos t + (B_{0} t + B_{1}) \sin t] \\ = (A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t . \end{matrix}

Duke zëvendësuar $y_{p}$ në ekuacionin diferencial, kemi identitetin

\begin{matrix} t \cos t & = {y_{p}}^{″} + y_{p} \\ = [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t] + [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t] \\ = [2 A_{0} \cos t + 2 (2 A_{0} t + A_{1}) (- \sin t) + (A_{0} t^{2} + A_{1} t) (- \cos t) + 2 B_{0} \sin t + 2 (2 B_{0} t + B_{1}) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) (- \sin t)] \\ + [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t] \\ = [4 B_{0} t + (2 A_{0} + 2 B_{1})] \cos t + [- 4 A_{0} t + (- 2 A_{1} + 2 B_{0})] \sin t . \end{matrix}

Duke krahasuar të dyja palët, kemi

{\begin{matrix} 1 = 4 B_{0} \\ 0 = 2 A_{0} + 2 B_{1} \\ 0 = - 4 A_{0} \\ 0 = - 2 A_{1} + 2 B_{0} \end{matrix}

e cila ka zgjidhjen

A_{0} = 0, A_{1} = B_{0} = \frac{1}{4}, B_{1} = 0 .

Pastaj marrim një integral të veçantë

y_{p} = \frac{1}{4} t \cos t + \frac{1}{4} t^{2} \sin t .

Shembulli 2

Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear johomogjen të mëposhtëm:

\frac{d y}{d x} = y + e^{x} .

Ky është si shembulli i parë i mësipërm, përveç se pjesa johomogjene ( $e^{x}$ ) nuk është linearisht e pavarur nga zgjidhja e përgjithshme e pjesës homogjene ( $c_{1} e^{x}$ ); si rezultat, ne duhet të shumëzojmë supozimin tonë me një fuqi mjaftueshëm të madhe prej x për ta bërë atë linearisht të pavarur.

Këtu supozimi ynë bëhet:

y_{p} = A x e^{x} .

Duke zëvendësuar këtë funksion dhe derivatin e tij në ekuacionin diferencial, mund të zgjidhet për A :

\frac{d}{d x} (A x e^{x}) = A x e^{x} + e^{x}

A x e^{x} + A e^{x} = A x e^{x} + e^{x}

A = 1 .

Pra, zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial është:

y = c_{1} e^{x} + x e^{x} .

Shembulli 3

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

\frac{d y}{d t} = t^{2} - y

$t^{2}$ është një polinom i shkallës së dytë, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje duke përdorur të njëjtën formë,

y_{p} = A t^{2} + B t + C,

Futja e këtij funksioni të veçantë në ekuacionin origjinal jep,

2 A t + B = t^{2} - (A t^{2} + B t + C),

2 A t + B = (1 - A) t^{2} - B t - C,

(A - 1) t^{2} + (2 A + B) t + (B + C) = 0 .

e cila jep:

A - 1 = 0, 2 A + B = 0, B + C = 0 .

Duke zgjedhur konstantet marrim:

y_{p} = t^{2} - 2 t + 2

Për të zgjidhur për zgjidhjen e përgjithshme,

y = y_{p} + y_{c}

ku $y_{c}$ është zgjidhja homogjene $y_{c} = c_{1} e^{- t}$ Prandaj, zgjidhja e përgjithshme është:

y = t^{2} - 2 t + 2 + c_{1} e^{- t}

↑ Stampa:Cite book
↑ ^2,0 ^2,1 Stampa:Cite book Gabim citimi: Invalid <ref> tag; name "Zill2008" defined multiple times with different content

[1] Stampa:Cite book

[Zill2008-2] 2,0 ^2,1 Stampa:Cite book Gabim citimi: Invalid <ref> tag; name "Zill2008" defined multiple times with different content

[1]

[2]

Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Përmbajtjet

Përshkrimi i metodës

Format tipike të integralit të veçantë

Shembuj

Shembulli 1

Shembulli 2

Shembulli 3

Menuja e navigimit

Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Përshkrimi i metodës

Format tipike të integralit të veçantë

Shembuj

Shembulli 1

Shembulli 2

Shembulli 3

Menuja e navigimit

Kërko