Funksioni i Spensit

Dilogaritmi përgjatë boshtit real

Në matematikë, funksioni i Spencit, ose dilogaritmi, i shënuar si ${\mathrm{Li}}_2(z)$, është një rast i veçantë i polilogaritmit. Dy funksione speciale të lidhura referohen si funksioni i Spensit, vetë dilogaritmi:

${\mathrm{Li}}_2(z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\ln (1-u)}{u}du\text{, }z\in ℂ$

dhe reflektimi i tij. Për $|z|<1$, zbatohet gjithashtu një seri e pafundme (përkufizimi integral përbën shtrirjen e tij analitike në planin kompleks ):

${\mathrm{Li}}_2(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^2}.$

Përndryshe, funksioni i dilogaritmit nganjëherë përcaktohet si

$\underset{1}{\overset{v}{\int }}\frac{\ln t}{1-t}dt={\mathrm{Li}}_2(1-v).$

Në gjeometrinë hiperbolike, dilogaritmi mund të përdoret për të llogaritur vëllimin e një simpleksi ideal . Në mënyrë të veçantë, një simpleks, kulmet e të cilit kanë raport kryq $z$ ka vëllim hiperbolik

$D(z)=\mathrm{Im}{\mathrm{Li}}_2(z)+\arg (1-z)\log |z|.$

Në fizikën e grimcave

Funksioni i Spensit haset zakonisht në fizikën e grimcave gjatë llogaritjes së korrigjimeve rrezatuese. Në këtë kontekst, funksioni shpesh përcaktohet me një vlerë absolute brenda logaritmit:

$\mathrm{\Phi }(x)=-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\ln |1-u|}{u}du=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{Li}}_2(x),& x\le 1;\\ \frac{{\pi }^2}{3}-\frac{1}{2}(\ln x{)}^2-{\mathrm{Li}}_2(\frac{1}{x}),& x>1.\end{array}$