Funksioni tregues

Një grafik tredimensional i një funksioni tregues, i paraqitur mbi një fushë dy-dimensionale katrore (bashkësia X ): pjesa "e ngritur" mbivendos ato pika dy-dimensionale që janë anëtare të nëbashkësisë "së treguar" ( A ).

Në matematikë, një funksion tregues ose një funksion karakteristik i një nënbashkësie të një grupi është një funksion që harton elementet e nëngrupit në një dhe të gjithë elementët e tjerë në zero. Kjo do të thotë, nëse $\mathrm{A}$ është një nënbashkësi e ndonjë bashkësie $\mathrm{X}$, atëherë ${\mathrm{𝟏}}_A(x)=1$ nëse $x\in A,$ dhe ${\mathrm{𝟏}}_A(x)=0$ përndryshe, ku ${\mathrm{𝟏}}_A$ është një shënim i zakonshëm për funksionin tregues. Shënime të tjera të zakonshme janë $I_A,$ dhe ${\chi }_A.$

Funksioni tregues i $\mathrm{A}$ është kllapa Iverson e vetive të përkatësisë $\mathrm{A}$ ; kjo sjell,

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=[x\in A].$

Për shembull, funksioni Dirichlet është funksioni tregues i numrave racionalë si një nënbashkësi e numrave realë .

E ç'është funksioni tregues?

Funksioni tregues i një nënbashkësie A të një bashkësie X është një funksion$${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\}$$i përcaktuar siNuk e kuptoj (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}

Vetitë themelore

Treguesi ose funksioni karakteristik i një nënbashkësie A të disa grupeve X paraqet elementet e X në diapazonin $\{0,1\}$ .

Ky hartëzim është syrjektiv vetëm kur A është një nënbashkësi e duhur jo boshe e X . Nëse $A\equiv X,$ pastaj ${\mathrm{𝟏}}_A=1.$ Me një argument të ngjashëm, nëse $A\equiv \mathrm{\varnothing }$ pastaj ${\mathrm{𝟏}}_A=0.$

Nëse $A$ dhe $B$ janë dy nënbashkësi të $X,$ pastaj$$\begin{array}{cc}{\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}& =\min \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,\\ {\mathrm{𝟏}}_{A\cup B}& =\max \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-{\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,\end{array}$$

Mesatarja, varianca dhe kovarianca

Duke pasur parasysh një hapësirë probabiliteti $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{P})$ me $A\in ℱ,$ ndryshorja e rastit treguese ${\mathrm{𝟏}}_A:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ është e përcaktuar nga ${\mathrm{𝟏}}_A(\omega )=1$ nëse $\omega \in A,$ ndryshe ${\mathrm{𝟏}}_A(\omega )=0.$

Mesatarja

$\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A(\omega ))=\mathrm{P}(A)$ (e quajtur edhe "Ura Themelore").

Varianca

$\mathrm{Var}({\mathrm{𝟏}}_A(\omega ))=\mathrm{P}(A)(1-\mathrm{P}(A))$

Kovarianca

$\mathrm{Cov}({\mathrm{𝟏}}_A(\omega ),{\mathrm{𝟏}}_B(\omega ))=\mathrm{P}(A\cap B)-\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$

Derivatet e funksionit tregues

Një funksion i veçantë tregues është funksioni i hapit Heaviside$$H(x):={\mathrm{𝟏}}_{x>0}$$Derivati shpërndarës i funksionit të hapit Heaviside është i barabartë me funksionin delta Dirac, dmth$$\frac{dH(x)}{dx}=\delta (x)$$