Prerjet spirike

Prerjet spirike si prerje planare të një torusi

Në gjeometri, një prerje spirike, e quajtur ndonjëherë spirikja e Perseut, është një kurbë e rrafshët katërore e përcaktuar nga ekuacionet e formës

$(x^2+y^2{)}^2=d{x}^2+e{y}^2+f.$

Një prerje spirike nganjëherë përkufizohet si lakorja e kryqëzimit të një torusi dhe një rrafshi paralel me boshtin e tij të simetrisë rrotulluese. Megjithatë, ky përkufizim nuk përfshin të gjitha lakoret e dhëna nga përkufizimi i mëparshëm, përveç nëse lejohen rrafshet imagjinare .

Prerjet spirike u përshkruan për herë të parë nga gjeometri i lashtë grek Perseu në afërsisht 150 para Krishtit. , dhe supozohet të jenë prerjet e para torike që u përshkruan. Emri spirik është për shkak të simbolit të lashtë spira të një torus.,

Ekuacionet

a = 1, b = 2, c = 0, 0.8, 1

Filloni me ekuacionin e zakonshëm për torusin:

$(x^2+y^2+z^2+b^2-a^2{)}^2=4b^2(x^2+y^2).$

Këmbimi i y dhe z në mënyrë që boshti i rrotullimit të jetë tani në planin xy, dhe vendosja e z = c për të gjetur kurbën e kryqëzimit jep

$(x^2+y^2-a^2+b^2+c^2{)}^2=4b^2(x^2+c^2).$

Zgjerimi i ekuacionit jep formën që shihet në përkufizim

$(x^2+y^2{)}^2=d{x}^2+e{y}^2+f$

ku

$d=2(a^2+b^2-c^2),e=2(a^2-b^2-c^2),f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).$

Në koordinata polare kjo bëhet

$(r^2-a^2+b^2+c^2{)}^2=4b^2(r^2{\cos }^2\theta +c^2)$

ose

$r^4=r^2(d{\cos }^2\theta +e{\sin }^2\theta )+f.$

Prerjet spirike në një torus fijor