Rrafshi Euklidian

Sistemi i koordinatave dydimensionale karteziane

Në matematikë, një plan ose rrafsh Euklidian është një hapësirë Euklidiane me dimensionin dy, e shënuar ${\mathbf{\text{E}}}^2$ ose ${𝔼}^2$ . Është një hapësirë gjeometrike në të cilën kërkohen dy numra realë për të përcaktuar pozicionin e secilës pikë . Është një hapësirë afine, e cila përfshin në veçanti konceptin e drejtëzave paralele . Ai gjithashtu ka veti metrike të induktuara nga një largësi, e cila lejon përcaktimin e rrathëve dhe matjen e këndit .

Një plan Euklidian me një sistem koordinativ të zgjedhur kartezian quhet rrafsh kartezian . Bashkësia ${ℝ}^2$ e çifteve të renditura të numrave realë ( rrafshi i koordinatave reale ), i pajisur me prodhimin skalar, shpesh quhet rrafshi Euklidian, pasi çdo rrafsh Euklidian është izomorfik ndaj tij.

Prodhimi pikë, këndi dhe gjatësia

Prodhimi pikë ose i brendshëm i dy vektorëve Stampa:Nowrap dhe Stampa:Nowrap përkufizohet si:

$𝐀\cdot 𝐁=A_1{B}_1+A_2{B}_2$

Një vektor mund të paraqitet si një shigjetë. Madhësia e tij është gjatësia e tij, dhe drejtimi i tij është drejtimi që tregon shigjeta. Madhësia e një vektori A shënohet me $\Vert 𝐀\Vert$ . Në këtë këndvështrim, produkti me pika i dy vektorëve Euklidian A dhe B përcaktohet nga

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert \cos \theta ,$

ku θ është këndi ndërmjet A dhe B.

Prodhimi pikë i vektorit A me veten është

$𝐀\cdot 𝐀=\Vert 𝐀{\Vert }^2,$

që jep

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{𝐀\cdot 𝐀},$

formula për gjatësinë Euklidiane të vektorit.