Vektori njësi

Në matematikë, një vektor njësi në një hapësirë vektoriale të normuar është një vektor (shpesh një vektor hapësinor ) me gjatësi 1. Një vektor njësi shënohet shpesh me një shkronjë të vogël me një kapelë, si në $\widehat{𝐯}$ (shqiptohet "v-me kapele").

Termi vektor i drejtimit, që zakonisht shënohet si d, përdoret për të përshkruar një vektor njësi që përdoret për të përfaqësuar drejtimin hapësinor dhe drejtimin relativ . Drejtimet hapësinore 2D janë numerikisht të njëvlershme me pikat në rrethin e njësisë dhe drejtimet hapësinore në 3D janë të njëvlershme me një pikë në sferën njësi .

Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 2D

Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 3D

Vektori i normalizuar û i një vektori jozero u është vektori njësi në drejtim të u, dmth.

$\widehat{𝐮}=\frac{𝐮}{\Vert 𝐮\Vert }$

ku ‖ u ‖ është norma (ose gjatësia) e u . Termi vektor i normalizuar ndonjëherë përdoret si sinonim për vektorin njësi .

Vektorët njësi shpesh zgjidhen për të formuar bazën e një hapësire vektoriale dhe çdo vektor në hapësirë mund të shkruhet si një formë kombinimi linear i vektorëve njësi.

Koordinatat drejtkëndore

Koordinatat karteziane

Vektorët njësi mund të përdoren për të përfaqësuar boshtet e një sistemi koordinativ kartezian . Për shembull, vektorët standardë të njësisë në drejtimin e boshteve x, y dhe z të një sistemi koordinativ tredimensional kartezian janë

$\widehat{𝐱}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\widehat{𝐲}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\widehat{𝐳}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Ata formojnë një grup vektorësh njësi ortogonale reciproke, të referuara zakonisht si një bazë standarde në algjebër lineare .

Ato shpesh shënohen duke përdorur shënimin e përbashkët të vektorit (p.sh., x ose $\overrightarrow{x}$ ) në vend të shënimit standard të vektorit njësi (p.sh., x̂ ). Në shumicën e konteksteve mund të supozohet se x, y, dhe z, (ose $\overrightarrow{x},$$\overrightarrow{y},$ dhe $\overrightarrow{z}$ ) janë versorë të një sistemi koordinativ kartezian 3-D. Shënimet ( î, ĵ, k̂ ), ( x̂ ₁, x̂ ₂, x̂ ₃ ), ( ê _x, ê _y, ê _z ), ose ( ê ₁, ê ₂, ی ₃ ), me ose pa kapelë, përdoren gjithashtu, veçanërisht në kontekste ku i, j, k mund të çojë në konfuzion me një madhësi tjetër.

Koordinatat cilindrike

Tre vektorët njësi ortogonalë të përshtatshëm për simetrinë cilindrike janë:

• $\hat{\mathit{\rho }}$ (e shënuar gjithashtu $\widehat{𝐞}$ ose $\widehat{𝒔}$ ), që paraqet drejtimin përgjatë të cilit matet largësia e pikës nga boshti i simetrisë;
• $\hat{\mathit{\phi }}$, që përfaqëson drejtimin e lëvizjes që do të vëzhgohej nëse pika do të rrotullohej në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth boshtit të simetrisë ;
• $\widehat{𝐳}$, që përfaqëson drejtimin e boshtit të simetrisë;

Ato lidhen me bazën karteziane $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$ nga:

$\hat{\mathit{\rho }}=\cos (\phi )\widehat{𝐱}+\sin (\phi )\widehat{𝐲}$

$\hat{\mathit{\phi }}=-\sin (\phi )\widehat{𝐱}+\cos (\phi )\widehat{𝐲}$

$\widehat{𝐳}=\widehat{𝐳}.$

Vektorët $\hat{\mathit{\rho }}$ dhe $\hat{\mathit{\phi }}$ janë funksione të $\phi ,$ dhe nuk janë konstante në drejtim. Kur diferencohen ose integrohen në koordinata cilindrike, duhet të veprohet mbi vetë këta vektorë njësi. Derivatet në lidhje me $\phi$ janë:

$\frac{\partial \hat{\mathit{\rho }}}{\partial \phi }=-\sin \phi \widehat{𝐱}+\cos \phi \widehat{𝐲}=\hat{\mathit{\phi }}$

$\frac{\partial \hat{\mathit{\phi }}}{\partial \phi }=-\cos \phi \widehat{𝐱}-\sin \phi \widehat{𝐲}=-\hat{\mathit{\rho }}$

$\frac{\partial \widehat{𝐳}}{\partial \phi }=\mathrm{𝟎}.$

Koordinatat sferike

Vektorët njësi të përshtatshëm për simetrinë sferike janë: $\widehat{𝐫}$, drejtimi në të cilin rritet largësia rrezore nga origjina; $\hat{\mathit{\phi }}$, drejtimi në të cilin këndi në rrafshin x - y në drejtim kundërorar nga boshti pozitiv x po rritet; dhe $\hat{\mathit{\theta }}$, drejtimi në të cilin këndi nga boshti pozitiv z po rritet. Për të minimizuar tepricën e paraqitjeve, këndi polar $\theta$ zakonisht merret të shtrihet midis zero dhe 180 gradë. Është veçanërisht e rëndësishme të theksohet konteksti i çdo treshe të renditur të shkruar në koordinata sferike, pasi rolet e $\hat{\mathit{\phi }}$ dhe $\hat{\mathit{\theta }}$ shpesh janë të kundërta. Këtu, përdoret konventa amerikane e "fizikës" . Kjo lë këndin azimutal $\phi$ të përcaktuara njësoj si në koordinatat cilindrike. Marrëdhëniet karteziane janë:

$\widehat{𝐫}=\sin \theta \cos \phi \widehat{𝐱}+\sin \theta \sin \phi \widehat{𝐲}+\cos \theta \widehat{𝐳}$

$\hat{\mathit{\theta }}=\cos \theta \cos \phi \widehat{𝐱}+\cos \theta \sin \phi \widehat{𝐲}-\sin \theta \widehat{𝐳}$

$\hat{\mathit{\phi }}=-\sin \phi \widehat{𝐱}+\cos \phi \widehat{𝐲}$

Vektorët njësi sferikë varen nga të dyja $\phi$ dhe $\theta$, dhe si rrjedhim ka 5 derivate të mundshëm jo zero. Për një përshkrim më të plotë, shihni matricën Jakobiane dhe përcaktorin . Derivatet jozero janë:

$\frac{\partial \widehat{𝐫}}{\partial \phi }=-\sin \theta \sin \phi \widehat{𝐱}+\sin \theta \cos \phi \widehat{𝐲}=\sin \theta \hat{\mathit{\phi }}$

$\frac{\partial \widehat{𝐫}}{\partial \theta }=\cos \theta \cos \phi \widehat{𝐱}+\cos \theta \sin \phi \widehat{𝐲}-\sin \theta \widehat{𝐳}=\hat{\mathit{\theta }}$

$\frac{\partial \hat{\mathit{\theta }}}{\partial \phi }=-\cos \theta \sin \phi \widehat{𝐱}+\cos \theta \cos \phi \widehat{𝐲}=\cos \theta \hat{\mathit{\phi }}$

$\frac{\partial \hat{\mathit{\theta }}}{\partial \theta }=-\sin \theta \cos \phi \widehat{𝐱}-\sin \theta \sin \phi \widehat{𝐲}-\cos \theta \widehat{𝐳}=-\widehat{𝐫}$

$\frac{\partial \hat{\mathit{\phi }}}{\partial \phi }=-\cos \phi \widehat{𝐱}-\sin \phi \widehat{𝐲}=-\sin \theta \widehat{𝐫}-\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}$