Identiteti i Sommerfeldit

Identiteti Sommerfeld është një identitet matematikor, i emërtuar sipas zbuluesit, Arnold Sommerfeld, i përdorur në teorinë e përhapjes së valëve ,

$\frac{e^{ikR}}{R}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{I}_0(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}\frac{\lambda d\lambda }{\mu }$

ku

$\mu =\sqrt{{\lambda }^2-k^2}$

duhet marrë me pjesë reale pozitive, për të siguruar konvergjencën e integralit dhe zhdukjen e tij në limitin kur $z\to \pm \mathrm{\infty }$ dhe

$R^2=r^2+z^2$ .

Këtu, $R$ është largësia nga origjina ndërsa $r$ është largësia nga boshti qendror i një cilindri si në $(r,\varphi ,z)$ sistemi cilindrik i koordinatave . Këtu shënimi për funksionet e Besselit ndjek konventën gjermane, për të qenë në përputhje me shënimin origjinal të përdorur nga Sommerfeld. Funksioni $I_0(z)$ është funksioni Bessel i rendit zero i llojit të parë, i njohur më mirë me shënimin $I_0(z)=J_0(iz)$ në letërsinë angleze. Ky identitet njihet si identiteti i Sommerfeldit. Stampa:Sfn

Në shënimin alternativ, identiteti i Sommerfeldit mund të shihet më lehtë si një zgjerim i një valë sferike në termat e valëve cilindrike-simetrike: Stampa:Sfn

$\frac{e^{i{k}_{0}r}}{r}=i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{k}_{\rho }\frac{k_{\rho }}{k_z}{J}_0(k_{\rho }\rho )e^{i{k}_z\left|z\right|}$

Ku

$k_z=(k_0^2-k_{\rho }^2{)}^{1/2}$

Shënimi i përdorur këtu është i ndryshëm nga ai i mësipërm: $r$ tani është largësia nga origjina dhe $\rho$ është largësia rrezore në një sistem koordinativ cilindrik të përcaktuar si $(\rho ,\varphi ,z)$ . Interpretimi fizik është se një valë sferike mund të zgjerohet në një përmbledhje të valëve cilindrike në drejtimin $\rho$, shumëzuar me një valë të rrafshët të dyanshme në drejtimin $z$ ; shih zgjerimin Jacobi-Anger . Përmbledhja duhet të merret mbi të gjithë numrat valor $k_{\rho }$ .