Limiti i një funksioni

$x$	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0,998334...
0.01	0,999983...

Megjithëse funksioni $\frac{\sin x}{x}$ nuk është përcaktuar në zero, pasi x i afrohet zeros gjithnjë e më shumë, $\frac{\sin x}{x}$ i afrohet pambarimisht 1. Me fjalë të tjera, limiti i $\frac{\sin x}{x}$kur x i afrohet zeros, është e barabartë 1.

Në matematikë, kufiri i një funksioni është një koncept themelor në kalkulus dhe analizën matematike në lidhje me sjelljen e atij funksioni pranë një pike të caktuar.

Përkufizimet formale, të krijuara për herë të parë në fillim të shekullit të 19-të, janë dhënë më poshtë. Joformalisht, një funksion $f$ cakton një dalje $f(x)$ për çdo hyrje x . Themi se funksioni ka një kufi L në një hyrje $p$, nëse $f(x)$ i afrohet L gjithnjë e më shumë ndërsa $x$ i afrohet gjithnjë e më shumë $p$. Më konkretisht, kur f zbatohet për çdo hyrje mjaftueshëm afër p, vlera e daljes detyrohet në mënyrë arbitrare afër L Nga ana tjetër, nëse disa hyrje shumë afër p merren në dalje që qëndrojnë në një distancë fikse larg njëra-tjetrës, atëherë themi se kufiri nuk ekziston .

Funksionet e një ndryshoreje të vetme

(ε, δ)-definition of limit

Për f, a dhe b të paraqitura, ne mund të sigurojmë që vlera $f(x)$ të jetë brenda një intervali arbitrar të vogël (b – ε, b + ε) duke kufizuar x në një interval mjaft të vogël (a – δ, a + δ). Prandaj $f(x)$ → b kur x → a .

Supozoni se $f:ℝ\to ℝ$ është një funksion i përcaktuar në vijën reale, dhe gjenden dy numra realë p dhe L . Mund të thuhet se kufiri i f, kur x i afrohet p, është L dhe shkruhet $$\underset{x\to p}{\lim }f(x)=L,$$ose në mënyrë alternative, të themi $𝒇\mathit{(}𝒙\mathit{)}$ tenton drejt L ndërsa x shkon në p, dhe shkruhet:$$f(x)\to L\text{ kur }x\to p,$$nëse vlen vetia e mëposhtme: për çdo ε > 0 reale, ekziston një δ reale > 0 e tillë që për të gjitha x reale, $0<|x-p|<\delta$ nënkupton $|f(x)-L|<ϵ$. Në mënyrë simbolike,$$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in ℝ)(0<|x-p|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon ).$$Për shembull, mund të themi$$\underset{x\to 2}{\lim }(4x+1)=9$$sepse për çdo ε > 0 reale, mund të marrim δ = ε /4, kështu që për të gjitha x reale, nëse 0 < | x − 2 | < δ, pastaj | 4 x + 1 − 9 | < ε .

Për çdo ε > 0 reale, ekziston një δ real > 0 e tillë që për të gjitha x ∈ ( a, b ), 0 < |x − p | < δ nënkupton që |f ( x ) − L | < ε .

Ose simbolikisht:$$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in (a,b))(0<|x-p|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon ).$$