Problemi i vlerës kufitare

Tregon një rajon ku një ekuacion diferencial është i vlefshëm dhe vlerat kufitare të lidhura me të

Në studimin e ekuacioneve diferenciale, një problem me vlerë kufitare është një ekuacion diferencial që i nënshtrohet kufizimeve të quajtura kushte kufitare . Një zgjidhje për një problem të vlerave kufitare është një zgjidhje për ekuacionin diferencial i cili gjithashtu plotëson kushtet kufitare.

Problemet e vlerës kufitare lindin në disa degë të fizikës pasi çdo ekuacion diferencial fizik do t'i ketë ato. Problemet që përfshijnë ekuacionin e valës, siç është përcaktimi i modave normale, shpesh deklarohen si probleme të vlerave kufitare. Një klasë e madhe e problemeve të rëndësishme të vlerave kufitare janë problemet Sturm–Liouville . Analiza e këtyre problemeve, në rastin linear, përfshin eigenfunksionet e një operatori diferencial .

Për të qenë i dobishëm në zbatime, një problem i vlerës kufitare duhet të shtrohet mirë . Kjo do të thotë se duke pasur parasysh hyrjen e problemit ekziston një zgjidhje unike, e cila varet vazhdimisht nga kjo hyrje. Shumë punë teorike në fushën e ekuacioneve diferenciale të pjesshme i kushtohen vërtetimit se problemet e vlerës kufitare që dalin nga zbatimet shkencore dhe inxhinierike janë në fakt të mirëpozuara (mirështruara).

Shpjegim

Problemet e vlerës kufitare janë të ngjashme me problemet e vlerës fillestare. Një problem me vlerë kufitare ka kushte të specifikuara në ekstremet ("kufijtë") e ndryshores së pavarur në ekuacion ndërsa një problem me vlerë fillestare ka të gjitha kushtet e specifikuara në të njëjtën vlerë të ndryshores së pavarur (dhe kjo vlerë është në kufirin e poshtëm të bashkësisë së përcaktimit, pra termi "vlera fillestare").

Një vlerë kufitare është një vlerë e të dhënave që përkon me një vlerë minimale ose maksimale hyrëse, të brendshme ose dalëse të specifikuar për një sistem ose përbërës.

Për shembull, nëse ndryshorja e pavarur është koha mbi segmentin [0,1], një problem me vlerë kufitare do të specifikonte vlerat për $y(t)$ në të dyja $t=0$ dhe $t=1$, ndërsa një problem me vlerë fillestare do të specifikonte një vlerë për $y(t)$ dhe $y^{\prime }(t)$ në kohë $t=0$ .

Gjetja e temperaturës në të gjitha pikat e një shufre hekuri me një skaj të mbajtur në zeron absolute dhe skajin tjetër në pikën e ngrirjes së ujit do të ishte një problem i vlerës kufitare.

Nëse problemi varet nga hapësira dhe koha, mund të specifikoni vlerën e problemit në një pikë të caktuar për të gjithë kohën ose në një kohë të caktuar për të gjithë hapësirën.

Konkretisht, një shembull i problemit të vlerës kufitare (në një dimension hapësinor) është

$y^{″}(x)+y(x)=0$

të zgjidhet për funksionin e panjohur $y(x)$ me kushtet kufitare

$y(0)=0,y(\pi /2)=2.$

Pa kushtet kufitare, zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është

$y(x)=A\sin (x)+B\cos (x).$

Nga gjendja kufitare $y(0)=0$ , merret

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

që nënkupton se $B=0.$ Nga gjendja kufitare $y(\pi /2)=2$ dikush gjen

$2=A\cdot 1$

dhe kështu $A=2.$ Shihet se imponimi i kushteve kufitare lejoi që dikush të përcaktojë një zgjidhje unike, e cila në këtë rast është

$y(x)=2\sin (x).$