Shpërndarja Normale-Wishart

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikat , shpërndarja normale-Wishart (ose shpërndarja Gausiane-Wishart ) është një familje shumëndryshore me katër parametra të shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit . Është parësori i konjuguar i një shpërndarjeje normale shumëvariate me mesatare të panjohur dhe matricë saktësie (inversi i matricës së kovariancës ).

Përkufizimi

Supozojmë se

$𝝁|{𝝁}_0,\lambda ,𝜦\sim 𝒩({𝝁}_0,(\lambda 𝜦{)}^{-1})$

ka një shpërndarje normale multivariate me mesatare ${𝝁}_0$ dhe matricës së kovariancës $(\lambda 𝜦{)}^{-1}$, ku

$𝜦|𝐖,\nu \sim 𝒲(𝜦|𝐖,\nu )$

ka një shpërndarje Wishart . Pastaj $(𝝁,𝜦)$ ka një shpërndarje normale-Wishart, e cila shënohet si

$(𝝁,𝜦)\sim \mathrm{N}\mathrm{W}({𝝁}_0,\lambda ,𝐖,\nu ).$

Karakterizimi

Funksioni i densitetit të probabilitetit

$f(𝝁,𝜦|{𝝁}_0,\lambda ,𝐖,\nu )=𝒩(𝝁|{𝝁}_0,(\lambda 𝜦{)}^{-1})𝒲(𝜦|𝐖,\nu )$

Vetitë

Shpërndarjet margjinale

Nga ndërtimi, shpërndarja margjinale mbi $𝜦$ është një shpërndarje Wishart, dhe shpërndarja e kushtëzuar mbi $𝝁$ dhënë $𝜦$ është një shpërndarje normale me shumëvariate . Shpërndarja margjinale mbi $𝝁$ është një shpërndarje Studenti shumëvariate .

Shpërndarja e pasme e parametrave

Pas bërjes së $n$ vëzhgimeve ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$, shpërndarja e pasme e parametrave është

$(𝝁,𝜦)\sim \mathrm{N}\mathrm{W}({𝝁}_n,{\lambda }_n,{𝐖}_n,{\nu }_n),$

ku përkatësisht

${\lambda }_n=\lambda +n,$

${𝝁}_n=\frac{\lambda {𝝁}_0+n\overline{𝒙}}{\lambda +n},$

${\nu }_n=\nu +n,$

${𝐖}_n^{-1}={𝐖}^{-1}+\sum _{i=1}^n({𝒙}_i-\overline{𝒙})({𝒙}_i-\overline{𝒙}{)}^T+\frac{n\lambda }{n+\lambda }(\overline{𝒙}-{𝝁}_0)(\overline{𝒙}-{𝝁}_0{)}^T.$

Gjenerimi i variacioneve të rastësishme normale-Wishart

Gjenerimi i variateve të rastit është i menjëhershëm:

1. Kampiono $𝜦$ nga një shpërndarje Wishart me parametra $𝐖$ dhe $\nu$
2. Kampiono $𝝁$ nga një shpërndarje normale shumëvariate me mesatare ${𝝁}_0$ dhe variancë $(\lambda 𝜦{)}^{-1}$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Shpërndarja normale-e anasjelltë Wishart është në thelb e njëjta shpërndarje e parametrizuar nga varianca dhe jo nga saktësia.
• Shpërndarja normale-gama është ekuivalenti njëdimensional.
• Shpërndarja normale me shumëvariate dhe shpërndarja Wishart janë shpërndarjet përbërëse nga të cilat është bërë kjo shpërndarje.