Shpërndarja e Bernulit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e Bernulit, e quajtur sipas matematikanit zviceran Jakob Bernuli, është shpërndarja diskrete e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që merr vlerën 1 me probabilitet. $p$ dhe vlerën 0 me probabilitet $q=1-p$ . Në mënyrë joformale, mund të mendohet si një model për grupin e rezultateve të mundshme të çdo eksperimenti që shtron një pyetje po-jo . Pyetje të tilla çojnë në rezultate me vlerë buleane : një bit i vetëm, vlera e të cilit është sukses (një) me probabilitet p dhe dështim (zero) me probabilitet q . Mund të përdoret për të përfaqësuar një hedhje monedhe, ku 1 dhe 0 do të përfaqësonin përkatësisht "kokën" dhe "pilin", dhe p do të ishte probabiliteti i rënies së monedhës kokë ose anasjelltas ku 1 do të përfaqësonte pilin dhe p do të ishte probabiliteti i pilit). Në veçanti, monedhat e padrejta do të kishin $p\ne 1/2.$

Shpërndarja e Bernulit është një rast i veçantë i shpërndarjes binomiale ku kryhet një provë e vetme (pra n do të ishte 1 për një shpërndarje të tillë binomiale).

Vetitë

Nëse $X$ është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Bernuli, atëherë:

$\mathrm{Pr}(X=1)=p=1-\mathrm{Pr}(X=0)=1-q.$

Funksioni i masës së probabilitetit $f$ i kësaj shpërndarjeje, mbi rezultatet e mundshme k, është

$f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{if }k=1,\\ q=1-p& \text{if }k=0.\end{array}$

Ky sistem mund të shprehet edhe si

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}\text{for }k\in \{0,1\}$

Kurtoza shkon në pafundësi për vlera të larta dhe të ulëta të $p,$ por për $p=1/2$ shpërndarjet me dy pika duke përfshirë shpërndarjen Bernuli kanë një kurtozë të tepërt më të ulët se çdo shpërndarje tjetër probabiliteti, përkatësisht −2.

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale të $p$ bazuar në një kampion të rastësishëm është mesatarja e kampionit .

Mesatarja

Pritja e një ndryshoreje të rastësishme Bernoulli $X$ është

$\mathrm{E}[X]=p$

Kjo për faktin se për një ndryshore të rastësishme me shpërndarje Bernuli $X$ me $\mathrm{Pr}(X=1)=p$ dhe $\mathrm{Pr}(X=0)=q$ ne gjejme

$\mathrm{E}[X]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$

Varianca

Varianca (Dispersioni) i një ndryshore të rastit $X$ me shpërndarje Bernuli është

$\mathrm{Var}[X]=pq=p(1-p)$

Së pari gjejmë

$\mathrm{E}[X^2]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1^2+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0^2=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p=\mathrm{E}[X]$

$\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}[X^2]-\mathrm{E}[X{]}^2=\mathrm{E}[X]-\mathrm{E}[X{]}^2=p-p^2=p(1-p)=pq$

Me këtë rezultat është e lehtë të vërtetohet se, për çdo shpërndarje Bernuli me një vlerë parametri p , varianca e saj do të ketë një vlerë brenda $[0,1/4]$ .

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X_1,\dots ,X_n$ janë ndryshore rasti të pavarura, të shpërndara identikisht ( iid ), të gjitha provat e Bernulit me probabilitet suksesi p, atëherë shuma e tyre ndjek një shpërndarjeje binomiale me parametra n dhe p :

  $\sum _{k=1}^n{X}_k\sim \mathrm{B}(n,p)$ ( shpërndarja binomiale ).

Shpërndarja e Bernulit është thjesht $\mathrm{B}(1,p)$, shkruar edhe si $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}(p).$

• Shpërndarja kategorike është përgjithësimi i shpërndarjes Bernuli për ndryshore me çdo numër konstant vlerash diskrete.
• Shpërndarja Beta është e konjuguar pararendëse e shpërndarjes Bernuli.
• Shpërndarja gjeometrike modelon numrin e provave të pavarura dhe identike të Bernulit të nevojshme për të arritur një sukses.
• Nëse $Y\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\left(\frac{1}{2}\right)$, atëherë $2Y-1$ ka një shpërndarje Rademacher .