Zbërthimi i pjesshëm në thyesa

Në algjebër, zbërthimi i pjesshëm në thyesa ose zgjerimi i pjesshëm i thyesave të një thyese racionale (d.m.th., një thyesë e tillë që numëruesi dhe emëruesi janë të dy polinome) është një veprim që e shpreh thyesën si shumë, e një polinomi (ndoshta zero) dhe një ose disa thyesave me emërues më të thjeshtë.

Rëndësia e zbërthimit të pjesshëm të thyesave qëndron në faktin se ai ofron algoritme për llogaritje të ndryshme me funksione racionale, duke përfshirë llogaritjen eksplicite të antiderivativëve, zgjerimet e serisë Tejlor, transformimet e anasjellta Z dhe transformimin e anasjelltë të Laplasit. Koncepti u zbulua në mënyrë të pavarur në 1702 nga Johann Bernoulli dhe Gottfried Leibniz.

Në simbole, zbërthimi i fraksionit të pjesshëm i një thyese racional të formës $\frac{f(x)}{g(x)},$ ku f dhe g janë polinome, është shprehja e tillë si:$$\frac{f(x)}{g(x)}=p(x)+\sum _j\frac{f_j(x)}{g_j(x)}$$ku $p(x)$ është një polinom, dhe, për çdo j, emëruesi $g_j(x)$ është një fuqi e një polinomi të pazbërthyeshëm (që nuk është i faktorizueshëm në polinome me fuqi pozitive), dhe numëruesi $f_j(x)$ është një polinom i një shkalle më të vogël se shkalla e këtij polinomi të pareduktueshëm.

Parimet bazë

Le të jetë$$R(x)=\frac{F}{G}$$një thyesë racionale, ku $F$ dhe $G$ janë polinome me një ndryshore në $x$ e papërcaktuar mbi një fushë. Ekzistenca e thyesës së pjesshëm mund të vërtetohet duke zbatuar në mënyrë induktive hapat e mëposhtëm të reduktimit.

Pjesa polinomiale

Ekzistojnë dy polinome $E$ dhe $F_1$ të tilla që $$\frac{F}{G}=E+\frac{F_1}{G},$$dhe$$\mathrm{deg}{F}_1<\mathrm{deg}G,$$ku $\mathrm{deg}P$ tregon shkallën e polinomit P

Procedura

Jepen dy polinome $P(x)$ dhe$Q(x)=(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\cdots (x-{\alpha }_n)$, ku α _i janë konstante të dallueshme dhe $degP<x$, shprehjet eksplicite për thyesat e pjesshme mund të merren duke supozuar se$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{c_1}{x-{\alpha }_1}+\frac{c_2}{x-{\alpha }_2}+\cdots +\frac{c_n}{x-{\alpha }_n}$$dhe më pas zgjidhet për konstantet c _i, me zëvendësim, duke barazuar koeficientët e termave që përfshijnë fuqitë e x, ose ndryshe.

Një llogaritje më e drejtpërdrejtë, e cila lidhet fort me interpolimin e Lagranzhit, përbëhet nga shorehja$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^n\frac{P({\alpha }_i)}{Q^{\prime }({\alpha }_i)}\frac{1}{(x-{\alpha }_i)}$$ku $Q^{\prime }$ është derivat i polinomit $Q$ . Koeficientët e $\frac{1}{x-{\alpha }_j}$ quhen mbetjet e f/g .

Kjo qasje nuk merr parasysh disa raste të tjera, por mund të modifikohet në përputhje me rrethanat:

• Nëse $\mathrm{deg}P\ge \mathrm{deg}Q,$ atëherë është e nevojshme të kryhet pjesëtimi Euklidian i P me Q, duke përdorur pjesëtimin e gjatë polinomial, duke dhënë $P(x)=E(x)Q(x)+R(x)$ me $\mathrm{deg}R<n$ . Duke pjesëtuar me $Q(x)$ kjo jep$$\frac{P(x)}{Q(x)}=E(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},$$
• Nëse $Q(x)$ përmban faktorë të cilët janë të pazbërthyeshëm në fushën e dhënë, atëherë numëruesi $N(x)$ i secilës thyesë të pjesshëm me një faktor të tillë $F(x)$ në emërues, duhet të kërkohet si një polinom me $\mathrm{deg}n<\mathrm{deg}F$, e jo si konstante. Për shembull, merrni zbërthimin e mëposhtëm mbi R : $$\frac{x^2+1}{(x+2)(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-1}+\frac{cx+d}{x^2+x+1}.$$
• Supozoni $Q(x)=(x-a{)}^{r}S(x)$ dhe $S(\alpha )\ne 0$, që do të thotë α është një rrënjë e $Q(x)$ me shumëfishitet r . Në zbërthimin e thyesave të pjesshme, r fuqitë e para të $(x-\alpha )$do të ndodhen si emërues të thyesave të pjesshme (mundësisht me një numërues zero). Për shembull, nëse S ( x ) = 1, zbërthimi i pjesshëm i thyesës ka formën $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{(x-\alpha {)}^r}=\frac{c_1}{x-\alpha }+\frac{c_2}{(x-\alpha {)}^2}+\cdots +\frac{c_r}{(x-\alpha {)}^r}.$$

Illustrim

Në një zbatim shembull të kësaj procedure, $\frac{3x+5}{(1-2x{)}^2}$ mund të zbërthehet në formën$$\frac{3x+5}{(1-2x{)}^2}=\frac{A}{(1-2x{)}^2}+\frac{B}{(1-2x)}.$$Pastrimi i emëruesve tregon se $3x+5=A+B(1-2x)$ . Zgjerimi dhe barazimi i koeficientëve të fuqive të x jep  Stampa:Block indent Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh lineare për A dhe B jep A = 13/2 dhe B = -3/2 . Prandaj,$$\frac{3x+5}{(1-2x{)}^2}=\frac{13/2}{(1-2x{)}^2}+\frac{-3/2}{(1-2x)}.$$

Mbi realet

Thyesat e pjesshme përdoren në integralet e funksioneve të ndryshores reale për të gjetur integralet e pacaktuara me vlerë reale të funksioneve racionale . Zbërthimi i pjesshëm i thyesave të funksioneve reale racionale përdoret gjithashtu për të gjetur transformimet e tyre të anasjellta të Laplasit . Për aplikimet e zbërthimit të pjesshëm të fraksioneve mbi realet, shih

• Aplikimi për integrimin simbolik, më sipër
• Thyesat e pjesshme në transformimet e Laplasit

Shembuj

Shembulli 1

$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}$$Këtu, emëruesi ndahet në dy faktorë të veçantë linearë:$$q(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$pra kemi zbërthimin e thyesës së pjesshme$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}$$Shumëzimi me emëruesin në anën e majtë na jep identitetin polinomial$$1=A(x-1)+B(x+3)$$Zëvendësimi i vlerës x = -3 në këtë ekuacion jep A = -1/4, dhe zëvendësimi i vlerës x = 1 jep B = 1/4, në mënyrë që$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}=\frac{1}{4}(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1})$$

Shembulli 2

$$f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}$$Pas pjesëtimit të polinomeve, kemi$$f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}$$Faktori $x^2-4x+8$ është i pazbërthyeshëm në fushën e numrave realë, pasi dallori i tij (−4)2 − 4×8 = −16 është negativ. Kështu zbërthimi i thyesës së pjesshme mbi numrat realë ka formën$$\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}$$Duke shumëzuar me $x^3-4x^2+8x$, kemi identitetin polinomial$$4x^2-8x+16=A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x$$Duke marrë x = 0, shohim se 16 = 8 A, pra A = 2. Duke krahasuar koeficientët x ², shohim se 4 = A + B = 2 + B, pra B = 2. Duke krahasuar koeficientët linearë, shohim se −8 = −4 A + C = −8 + C, pra C = 0. Gjithsej,$$f(x)=1+2(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8})$$Thyesa mund të zbërthehet plotësisht duke përdorur numra kompleksë . Sipas teoremës themelore të algjebrës, çdo polinom kompleks i shkallës n ka n rrënjë (komplekse) (disa prej të cilave mund të përsëriten). Pjesa e dytë mund të zbërthehet në:$$\frac{x}{x^2-4x+8}=\frac{D}{x-(2+2i)}+\frac{E}{x-(2-2i)}$$Duke shumëzuar me emëruesin jepet:$$x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))$$Duke barazuar koeficientët e x dhe koeficientët konstante (në lidhje me x ) të të dy anëve të këtij ekuacioni, fitohet një sistem me dy ekuacione lineare në D dhe E, zgjidhja e të cilit është$$D=\frac{1+i}{2i}=\frac{1-i}{2},E=\frac{1-i}{-2i}=\frac{1+i}{2}.$$Kështu kemi një zbërthim të plotë:$$f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{2}{x}+\frac{1-i}{x-(2+2i)}+\frac{1+i}{x-(2-2i)}$$