Shih burimin për Derivati i kohës

Një '''derivat kohor''' është një [[Derivati|derivat]] i një funksioni në lidhje me [[Koha|kohën]], zakonisht interpretohet si shpejtësia e ndryshimit të vlerës së funksionit. <ref>[[Alpha Chiang|Chiang, Alpha C.]], ''Fundamental Methods of Mathematical Economics'', McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.</ref> Ndryshorja që tregon kohën zakonisht shkruhet si <math>t</math> .

== Shënimi ==
Një shumëllojshmëri shënimesh përdoren për të treguar derivatin e kohës. Përveç shënimit normal ( të Lajbnicit ),

: <math>\frac {dx} {dt}</math>

Një shënim shumë i zakonshëm i shkurtuar që përdoret, veçanërisht në fizikë, është 'mbi-pika'. dmth

: <math>\dot{x}</math>

(Ky quhet [[shënimi i Njutonit]] )

Përdoren edhe derivatet më të larta të kohës: [[derivati i dytë]] në lidhje me kohën shkruhet si

: <math>\frac {d^2x} {dt^2}</math>

me stenografinë përkatëse të <math>\ddot{x}</math> .

Si përgjithësim, derivati kohor i një vektori, të trajtës:

: <math> \mathbf v = \left[ v_1,\ v_2,\ v_3, \ldots \right] </math>

përkufizohet si vektori, përbërësit e të cilit janë derivatet e përbërësve të vektorit origjinal. Kjo në terma të tjerë do të thotë,

: <math> \frac {d \mathbf v } {dt} = \left[ \frac{ d v_1 }{dt},\frac {d v_2 }{dt},\frac {d v_3 }{dt}, \ldots \right] . </math>

Derivatet kohore janë një koncept kyç në [[Fizika|fizikë]] . Për shembull, për një [[Pozicioni (vektor)|pozicion]] në ndryshim <math>x</math>, derivati i saj kohor <math>\dot{x}</math> është [[Shpejtësia (fizikë)|shpejtësia]] e saj dhe derivati i dytë i saj në lidhje me kohën, <math>\ddot{x}</math>, është [[nxitimi]] i tij . Nganjëherë përdoren edhe derivate më të lartë: derivati i tretë i pozicionit në lidhje me kohën njihet si [[Tund (fizikë)|hov]].

Një numër i madh ekuacionesh themelore në fizikë përfshijnë derivate për herë të parë ose të dytë të madhësive. Shumë madhësi të tjera themelore në shkencë janë derivate kohore të njëra-tjetrës:

* [[forca]] është derivati kohor i [[Vrulli|impulsit]]
* [[Fuqia (fizikë)|fuqia]] është derivati kohor i [[Energjia|energjisë]]
* [[rryma elektrike]] është derivati kohor i [[Ngarkesa elektrike|ngarkesës elektrike]]

Me këtë formë për zhvendosjen, gjendet shpejtësia e çastit. Derivati kohor i vektorit të zhvendosjes është vektori i shpejtësisë. Në përgjithësi, derivati i një vektori është një vektor i përbërë nga përbërës secili prej të cilëve është derivat i përbërësit përkatës të vektorit origjinal. Kështu, në këtë rast, vektori i shpejtësisë është:

=== Shembull: lëvizja rrethore ===
[[Skeda:Polar_rectangular.svg|parapamje|300x300px| Lidhja ndërmjet koordinatave karteziane ( ''x'', ''y'' ) dhe [[Sistemi koordinativ polar|koordinatave polare]] ( ''r'', ''θ'' ).]]
Për shembull, merrni parasysh një grimcë që lëviz në një shteg rrethor. Vendndodhja e saj jepet nga vektori i zhvendosjes <math>r=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}</math>, lidhur me këndin, ''θ'', dhe largësinë rrezore, ''r'', siç përcaktohet në figurë:

: <math>\begin{align}
x &= r \cos(\theta) \\
y &= r \sin(\theta)
\end{align}</math>

Për këtë shembull, supozojmë se {{Nowrap|1=''θ'' = ''t''}} . Prandaj, zhvendosja (pozicioni) në çdo kohë ''t'' jepet nga

: <math>\mathbf{r}(t) = r\cos(t)\hat{\imath}+r\sin(t)\hat{\jmath}</math>

Kjo formë tregon se lëvizja e përshkruar nga '''r''' ( ''t'' ) është në një rreth me rreze ''r'' sepse ''madhësia'' e '''r''' ( ''t'' ) jepet nga

: <math>|\mathbf{r}(t)| = \sqrt{\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)}=\sqrt {x(t)^2 + y(t)^2 } = r\, \sqrt{\cos^2(t) + \sin^2(t)} = r</math>

duke përdorur [[Identiteti trigonometrik|identitetin trigonometrik]] {{Nowrap|1=sin<sup>2</sup>(''t'') + cos<sup>2</sup>(''t'') = 1}} dhe ku <math>\cdot</math> është prodhimi i zakonshëm i pikave Euklidiane.

: <math>
\begin{align}
\mathbf{v}(t) = \frac {d\,\mathbf{r}(t) }{dt} &= r \left[\frac{d\, \cos(t)}{dt}, \frac{d\, \sin(t)}{dt} \right] \\
 &= r\ [ -\sin(t),\ \cos(t)] \\
 &= [-y (t), x(t)].
\end{align}</math>

Atëherë nxitimi është derivati kohor i shpejtësisë:

: <math>\mathbf{a}(t) = \frac {d\, \mathbf{v}(t)}{dt} = [-x(t), -y(t)] = -\mathbf{r}(t)\, .</math>

== Përdorimi në ekonomi ==
Në [[Shkenca ekonomike|ekonomi]], shumë modele teorike të evolucionit të ndryshoreve të shumëllojshme ekonomike ndërtohen në [[Koha e vazhdueshme|kohë të vazhdueshme]] dhe për këtë arsye përdorin derivate kohore. <ref>See for example {{Cite book |last=Romer |first=David |title=Advanced Macroeconomics |url=https://archive.org/details/advancedmacroeco0000rome_y7x0 |publisher=McGraw-Hill |year=1996 |isbn=0-07-053667-8}}</ref> : ch. 1-3 Një situatë përfshin një [[Stoqet dhe flukset|ndryshore stoku]] dhe derivatin e tij kohor, një ndryshore fluksi . Shembujt përfshijnë:

* Rrjedha e [[Investim fiks|investimeve fikse]] neto është derivati kohor i [[Kapitali|stokut të kapitalit]] .
* Rrjedha e [[Investimi në inventar|investimit të inventarit]] është derivati kohor i stokut të [[Inventari|inventarit]] .
* Shkalla e rritjes së [[Oferta monetare|ofertës monetare]] është derivati kohor i ofertës monetare të ndarë me vetë ofertën monetare.