Derivati i kohës

Një derivat kohor është një derivat i një funksioni në lidhje me kohën, zakonisht interpretohet si shpejtësia e ndryshimit të vlerës së funksionit. Ndryshorja që tregon kohën zakonisht shkruhet si $t$ .

Shënimi

Një shumëllojshmëri shënimesh përdoren për të treguar derivatin e kohës. Përveç shënimit normal ( të Lajbnicit ),

$\frac{dx}{dt}$

Një shënim shumë i zakonshëm i shkurtuar që përdoret, veçanërisht në fizikë, është 'mbi-pika'. dmth

$\dot{x}$

(Ky quhet shënimi i Njutonit )

Përdoren edhe derivatet më të larta të kohës: derivati i dytë në lidhje me kohën shkruhet si

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

me stenografinë përkatëse të $\ddot{x}$ .

Si përgjithësim, derivati kohor i një vektori, të trajtës:

$𝐯=[v_1,v_2,v_3,\dots ]$

përkufizohet si vektori, përbërësit e të cilit janë derivatet e përbërësve të vektorit origjinal. Kjo në terma të tjerë do të thotë,

$\frac{d𝐯}{dt}=[\frac{d{v}_1}{dt},\frac{d{v}_2}{dt},\frac{d{v}_3}{dt},\dots ].$

Derivatet kohore janë një koncept kyç në fizikë . Për shembull, për një pozicion në ndryshim $x$, derivati i saj kohor $\dot{x}$ është shpejtësia e saj dhe derivati i dytë i saj në lidhje me kohën, $\ddot{x}$, është nxitimi i tij . Nganjëherë përdoren edhe derivate më të lartë: derivati i tretë i pozicionit në lidhje me kohën njihet si hov.

Një numër i madh ekuacionesh themelore në fizikë përfshijnë derivate për herë të parë ose të dytë të madhësive. Shumë madhësi të tjera themelore në shkencë janë derivate kohore të njëra-tjetrës:

• forca është derivati kohor i impulsit
• fuqia është derivati kohor i energjisë
• rryma elektrike është derivati kohor i ngarkesës elektrike

Me këtë formë për zhvendosjen, gjendet shpejtësia e çastit. Derivati kohor i vektorit të zhvendosjes është vektori i shpejtësisë. Në përgjithësi, derivati i një vektori është një vektor i përbërë nga përbërës secili prej të cilëve është derivat i përbërësit përkatës të vektorit origjinal. Kështu, në këtë rast, vektori i shpejtësisë është:

Shembull: lëvizja rrethore

Lidhja ndërmjet koordinatave karteziane ( x, y ) dhe koordinatave polare ( r, θ ).

Për shembull, merrni parasysh një grimcë që lëviz në një shteg rrethor. Vendndodhja e saj jepet nga vektori i zhvendosjes $r=x\hat{ı}+y\hat{ȷ}$, lidhur me këndin, θ, dhe largësinë rrezore, r, siç përcaktohet në figurë:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos (\theta )\\ y& =r\sin (\theta )\end{array}$

Për këtë shembull, supozojmë se Stampa:Nowrap . Prandaj, zhvendosja (pozicioni) në çdo kohë t jepet nga

$𝐫(t)=r\cos (t)\hat{ı}+r\sin (t)\hat{ȷ}$

Kjo formë tregon se lëvizja e përshkruar nga r ( t ) është në një rreth me rreze r sepse madhësia e r ( t ) jepet nga

$|𝐫(t)|=\sqrt{𝐫(t)\cdot 𝐫(t)}=\sqrt{x(t{)}^2+y(t{)}^2}=r\sqrt{{\cos }^2(t)+{\sin }^2(t)}=r$

duke përdorur identitetin trigonometrik Stampa:Nowrap dhe ku $\cdot$ është prodhimi i zakonshëm i pikave Euklidiane.

$\begin{array}{cc}𝐯(t)=\frac{d𝐫(t)}{dt}& =r[\frac{d\cos (t)}{dt},\frac{d\sin (t)}{dt}]\\ & =r[-\sin (t),\cos (t)]\\ & =[-y(t),x(t)].\end{array}$

Atëherë nxitimi është derivati kohor i shpejtësisë:

$𝐚(t)=\frac{d𝐯(t)}{dt}=[-x(t),-y(t)]=-𝐫(t).$

Përdorimi në ekonomi

Në ekonomi, shumë modele teorike të evolucionit të ndryshoreve të shumëllojshme ekonomike ndërtohen në kohë të vazhdueshme dhe për këtë arsye përdorin derivate kohore.  : ch. 1-3 Një situatë përfshin një ndryshore stoku dhe derivatin e tij kohor, një ndryshore fluksi . Shembujt përfshijnë:

• Rrjedha e investimeve fikse neto është derivati kohor i stokut të kapitalit .
• Rrjedha e investimit të inventarit është derivati kohor i stokut të inventarit .
• Shkalla e rritjes së ofertës monetare është derivati kohor i ofertës monetare të ndarë me vetë ofertën monetare.