Shih burimin për Ekuacionet e Hamilton-Jakobit

Në [[Fizika|fizikë]], '''ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ)''' është një riformulim i [[mekanika klasike|mekanikës klasike]] dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si [[ligjet e Njutonit]], [[mekanika e Lagranzhit|mekanikën e Lagranzhit]] dhe [[mekanika e Hamiltonit|mekanikën e Hamiltonit]]. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht. 

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e [[Johan Bernulit]] në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, [[ekuacioni i Shrodingerit|ekuacionin e Shrodingerit]], siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i [[mekanika klasike|mekanikës klasike]] me [[mekanika kuantike|mekaniken kuantike]].

== Formulimi matematik ==
Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një [[ekuacion differencial pjesor]] jolinear i rendit të parë , për një funksion <math>S(q_{1},\dots,q_{N}; t)</math> i quajtur [[funksioni principal i Hamiltonit]]

:<math>
H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.
</math>

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga [[mekanika e Hamiltonit]] duke trajtuar <math>S</math> (veprimin) si funksionin gjenerues për një [[transformim kanonik]] të [[mekanika e Hamiltonit|funksionit Hamiltonian klasik]] <math>H(q_{1},\dots,q_{N};p_{1},\dots,p_{N};t)</math>. Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të <math>S</math> në lidhje me koordinata e përgjithshme 

:<math>
p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}.</math>

të cilat mund të merren si më poshtë.<br />
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga 

:<math>\delta S=\sum_{k=1}^N\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\delta q_k\right]_{t_1}^{t_2}+\sum_{k=1}^N\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac {\partial L}{\partial q_k} - \frac {d}{d t}  \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta q_k \,dt.</math>

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin [[Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit|ekuacioni i Ojler–Lagranzhit]], integrali në <math>\delta S</math> është zero. Tek termi i parë vendosim <math>\delta q_k(t_1)=0</math>, dhe e quajmë vlerën e <math>\delta q_k(t_2)</math> me <math>\delta q_k</math>. Duke zëvendësuar <math>\partial L/\partial \dot{q}_{k}</math> me <math>p_k</math>, marrim
:<math>\delta S=\sum_{k=1}^N p_k \delta q_k</math>. 
Nga ky relacion del se [[derivatet pjesore]] të [[Veprimi (fizikë)|veprimit]] në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

== Krahasimi me formulimet e tjera të mekanikës ==

== Notacioni ==
Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si <math>\mathbf{q}</math> për të paraqitur listën e <math>N</math> [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatave të përgjithshme]]

:<math>
\mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N-1}, q_{N})
</math>

që nuk transformohen si një [[vektori|vektor]] përgjatë një [[rrotullimi]]. [[Prodhimi skalar]] këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra, 

:<math>
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} p_{k} q_{k}.
</math>

== Derivimi ==
Çdo [[transformim kanonik]] që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë <math>G_{2}(\mathbf{q},\mathbf{P},t)</math> na çon tek relacionet

:<math>
\qquad
{\partial G_{2} \over \partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}, \qquad
{\partial G_{2} \over \partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}, \qquad
K = H + {\partial G_{2} \over \partial t}
</math>

(Shikoni artikullin mbi [[transformimet kanonike]] për detaje të mëtejshme.) 

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues <math>S(\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)</math> që prodhon funksion e ri Hamiltonian <math>K</math> i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe [[ekuacionet e Hamiltonit]] bëhen shumë të lehta

:<math>
{d\mathbf{P} \over dt} = {d\mathbf{Q} \over dt} = 0
</math>

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë [[konstante të lëvizjes|konstantet e lëvizjes]]. Vrullet e reja të përgjithshme <math>\mathbf{P}</math> shpesh jepen nga <math>\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N-1}, \alpha_{N}</math>, pra, <math>P_{m} = \alpha_{m}</math>. 

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian <math>K</math>
:<math>
K(\mathbf{Q},\mathbf{P},t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial S \over \partial t} = 0.
</math>

i cili është ekuivalent me EHJ

:<math>
H\left(\mathbf{q},{\partial S \over \partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,
</math>

meqense <math>\mathbf{p}=\partial S/\partial \mathbf{q}</math>.

[[Koordinatat e përgjithshme|Koordinatat e reja të përgjithshme]] <math>\mathbf{Q}</math> janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga <math>\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{N-1}, \beta_{N}</math>. Pasi zgjedhim për <math>S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)</math>, marrim disa ekuacione shumë të dobishme 

:<math>
\mathbf{Q} = \boldsymbol\beta = 
{\partial S \over \partial \boldsymbol\alpha}
</math>

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

:<math>
Q_{m} = \beta_{m} = 
\frac{\partial S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)}{\partial \alpha_{m}}
</math>

Idealisht, këto <math>N</math> ekuacione mund të invertohen për të gjetur [[koordinatat e përgjithshme]] origjinale <math>\mathbf{q}</math> si një funksion i konstanteve <math>\boldsymbol\alpha</math> dhe <math>\boldsymbol\beta</math>, kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

== Ndarja e variablave ==

== Shembuj në koordinatave sferike ==

Hamiltoniani në [[koordinata sferike]] mund të shkruhet si 

:<math>
H = \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r, \theta, \phi)
</math>

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs <math>U</math> merr formën 

:<math>
U(r, \theta, \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}
</math>

ku <math>U_{r}(r)</math>, <math>U_{\theta}(\theta)</math> dhe <math>U_{\phi}(\phi)</math> janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve <math>S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - Et</math> tek ekuacioni i HJ jep

:<math>
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + 
\frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + 
\frac{1}{2m r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right]  = E
</math>

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të [[ekuacioneve diferenciale ordinere]] duke filluar me ekuacionin <math>\phi</math> 

:<math>
\left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}
</math>

ku <math>\Gamma_{\phi}</math> është [[konstantja e lëvizjes]] e cila eliminon <math>\phi</math> varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

:<math>
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + 
\frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] = E
</math>

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin [[koordinatat e përgjithshme]] <math>\theta</math> 

:<math>
\left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}
</math>

ku <math>\Gamma_{\theta}</math> është prapë një [[konstante e lëvizjes]] e cila eliminon varësinë nga <math>\theta</math> dhe e redukton ekuacionin në [[ekuacionin diferencial ordiner]] final.
:<math>
\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{2m r^{2}} = E
</math>

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për <math>S</math>.

== Shembuj në koordinata eliptike cilindrike ==

== Shembuj në koordinata parabolike cilindrike ==

== Perafrimi Ikonal dhe lidhja me ekuacionin e Shredingerit ==

== Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale ==

:<math>g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0</math>

ku <math>g^{ik}</math> janë komponentët [[kontravariant]] të [[tensorit të metrikës]], ''m'' është [[masa e prehjes]] e thërrmijës dhe ''c'' është [[shpejtësia e dritës]].

== Shiko gjithashtu ==
* [[Ekuacionet e Hamiltonit]]
* [[Transformimet kanonike]]
* [[Konstantja e lëvizjes]]
* [[Fusha vektoriale Hamiltoniane]]
* Në teorinë e kontrollit, shikoni [[ekuacioni i Hamilton-Jakobi-Bellmanit]].
* [[Përafrimi WKB]]

== Referime ==
* Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", ''Dublin University Review'', pp. 795-826.

* Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", ''British Association Report'', pp.513-518.

* {{cite book | author=H. Goldstein | title=Classical Mechanics | publisher=Addison Wesley | year=2002 | id=ISBN 0-201-65702-3}}

* {{cite book | author=A. Fetter and J. Walecka | title=Theoretical Mechanics of Particles and Continua | publisher=Dover Books | year=2003 | id=ISBN 0-486-43261-0}}

* Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.

[[Kategoria:Mekanikë]]
[[Kategoria:Fizikë]]