Ekuacionet e Hamilton-Jakobit

Në fizikë, ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ) është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht.

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.

Formulimi matematik

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion $S(q_1,\dots ,q_N;t)$ i quajtur funksioni principal i Hamiltonit

$H(q_1,\dots ,q_N;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_N};t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar $S$ (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonik të funksionit Hamiltonian klasik $H(q_1,\dots ,q_N;p_1,\dots ,p_N;t)$. Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të $S$ në lidhje me koordinata e përgjithshme

$p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}.$

të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga

$\delta S=\sum _{k=1}^N{\left[\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\delta q_k\right]}_{t_1}^{t_2}+\sum _{k=1}^N\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k})\delta q_{k}dt.$

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në $\delta S$ është zero. Tek termi i parë vendosim $\delta q_k(t_1)=0$, dhe e quajmë vlerën e $\delta q_k(t_2)$ me $\delta q_k$. Duke zëvendësuar $\partial L/\partial {\dot{q}}_k$ me $p_k$, marrim

$\delta S=\sum _{k=1}^N{p}_k\delta q_k$.

Nga ky relacion del se derivatet pjesore të veprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

Notacioni

Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si $𝐪$ për të paraqitur listën e $N$ koordinatave të përgjithshme

$𝐪\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(q_1,q_2,\dots ,q_{N-1},q_N)$

që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra,

$𝐩\cdot 𝐪\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=1}^N{p}_k{q}_k.$

Derivimi

Çdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë $G_2(𝐪,𝐏,t)$ na çon tek relacionet

$\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪}=𝐩,\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}=𝐐,K=H+\frac{\partial G_2}{\partial t}$

(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.)

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues $S(𝐪,𝐏,t)$ që prodhon funksion e ri Hamiltonian $K$ i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta

$\frac{d𝐏}{dt}=\frac{d𝐐}{dt}=0$

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme $𝐏$ shpesh jepen nga ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{N-1},{\alpha }_N$, pra, $P_m={\alpha }_m$.

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian $K$

$K(𝐐,𝐏,t)=H(𝐪,𝐩,t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

i cili është ekuivalent me EHJ

$H(𝐪,\frac{\partial S}{\partial 𝐪},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0,$

meqense $𝐩=\partial S/\partial 𝐪$.

Koordinatat e reja të përgjithshme $𝐐$ janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{N-1},{\beta }_N$. Pasi zgjedhim për $S(𝐪,\mathit{\alpha },t)$, marrim disa ekuacione shumë të dobishme

$𝐐=\mathit{\beta }=\frac{\partial S}{\partial \mathit{\alpha }}$

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

$Q_m={\beta }_m=\frac{\partial S(𝐪,\mathit{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_m}$

Idealisht, këto $N$ ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale $𝐪$ si një funksion i konstanteve $\mathit{\alpha }$ dhe $\mathit{\beta }$, kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

Shembuj në koordinatave sferike

Hamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si

$H=\frac{1}{2m}[p_r^2+\frac{p_{\theta }^2}{r^2}+\frac{p_{\varphi }^2}{r^2{\sin }^2\theta }]+U(r,\theta ,\varphi )$

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs $U$ merr formën

$U(r,\theta ,\varphi )=U_r(r)+\frac{U_{\theta }(\theta )}{r^2}+\frac{U_{\varphi }(\varphi )}{r^2{\sin }^2\theta }$

ku $U_r(r)$, $U_{\theta }(\theta )$ dhe $U_{\varphi }(\varphi )$ janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve $S=S_r(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\varphi }(\varphi )-Et$ tek ekuacioni i HJ jep

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{d{S}_r}{dr}\right)}^2+U_r(r)+\frac{1}{2m{r}^2}[{\left(\frac{d{S}_{\theta }}{d\theta }\right)}^2+2m{U}_{\theta }(\theta )]+\frac{1}{2m{r}^2{\sin }^2\theta }[{\left(\frac{d{S}_{\varphi }}{d\varphi }\right)}^2+2m{U}_{\varphi }(\varphi )]=E$

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin $\varphi$

${\left(\frac{d{S}_{\varphi }}{d\varphi }\right)}^2+2m{U}_{\varphi }(\varphi )={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi }$

ku ${\mathrm{\Gamma }}_{\varphi }$ është konstantja e lëvizjes e cila eliminon $\varphi$ varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{d{S}_r}{dr}\right)}^2+U_r(r)+\frac{1}{2m{r}^2}[{\left(\frac{d{S}_{\theta }}{d\theta }\right)}^2+2m{U}_{\theta }(\theta )+\frac{{\mathrm{\Gamma }}_{\varphi }}{{\sin }^2\theta }]=E$

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme $\theta$

${\left(\frac{d{S}_{\theta }}{d\theta }\right)}^2+2m{U}_{\theta }(\theta )+\frac{{\mathrm{\Gamma }}_{\varphi }}{{\sin }^2\theta }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta }$

ku ${\mathrm{\Gamma }}_{\theta }$ është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga $\theta$ dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{d{S}_r}{dr}\right)}^2+U_r(r)+\frac{{\mathrm{\Gamma }}_{\theta }}{2m{r}^2}=E$

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për $S$.

Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale

$g^{ik}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^k}-m^2{c}^2=0$

ku $g^{ik}$ janë komponentët kontravariant të tensorit të metrikës, m është masa e prehjes e thërrmijës dhe c është shpejtësia e dritës.

Shiko gjithashtu

• Ekuacionet e Hamiltonit
• Transformimet kanonike
• Konstantja e lëvizjes
• Fusha vektoriale Hamiltoniane
• Në teorinë e kontrollit, shikoni ekuacioni i Hamilton-Jakobi-Bellmanit.
• Përafrimi WKB

Referime

• Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.

• Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.

• Stampa:Cite book

• Stampa:Cite book

• Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.