Shih burimin për Ekuacioni diferencial i Bernulit

Në [[Matematika|matematikë]], një [[Ekuacioni diferencial i zakonshëm|ekuacion diferencial i zakonshëm]] quhet '''ekuacion diferencial i Bernulit''' nëse është i trajtës

: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n,</math>

ku <math>n</math> është një numër real. Ekuacioni u diskutua për herë të parë në një vepër të vitit 1695 nga Jakob Bernuli, pas të cilit është emërtuar. Zgjidhja më e hershme, megjithatë, u ofrua nga [[Gotfrid Lajbnici|Gotfrid Lajbnic]], i cili publikoi rezultatin e tij në të njëjtin vit dhe metoda e të cilit është ajo që përdoret ende sot. <ref>{{Cite journal |last=Parker |first=Adam E. |date=2013 |title=Who Solved the Bernoulli Differential Equation and How Did They Do It? |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/Parker-CMJ-2014.pdf |format=PDF |journal=The College Mathematics Journal |volume=44 |pages=89–97 |issn=2159-8118 |via=[[Mathematical Association of America]] |access-date=11 qershor 2023 |archive-date=29 maj 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230529133834/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/Parker-CMJ-2014.pdf |url-status=dead }}</ref>

Ekuacionet e Bernulit janë speciale pasi janë ekuacione diferenciale jolineare me zgjidhje të njohura të sakta. Një rast i veçantë i dukshëm i ekuacionit të Bernulit është ekuacioni diferencial logjistik .

== Shndërrimi në një ekuacion diferencial linear ==
Kur <math> n = 0</math>, ekuacioni diferencial është [[Ekuacioni diferencial linear|linear]] . Kur <math>n = 1</math>, është ekuacioni është i [[Ekuacione Diferenciale Separabile|ndashëm]]. Në këto raste mund të zbatohen teknika standarde për zgjidhjen e ekuacioneve të atyre formave. Për <math>n \neq 0</math> dhe <math>n \neq 1</math>, zevendesimi <math>u = y^{1-n} </math> redukton çdo ekuacion të Bernulit në një ekuacion diferencial linear

: <math>\frac{du}{dx} - (n-1)P(x)u = - (n-1)Q(x).</math>

Për shembull, në rastin <math>n = 2</math>, duke bërë zëvendësimin <math>u=y^{-1}</math> në ekuacionin diferencial <math> \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y=xy^2 </math> merret ekuacioni <math>\frac{du}{dx} -\frac{1}{x}u=-x</math>, i cili është një ED linear.

== Zgjidhja ==
Le të jetë <math>x_0 \in (a, b)</math> dhe

: <math>\left\{\begin{array}{ll}
z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{if}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\
z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{if}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.</math>

të jetë një zgjidhje e ekuacionit diferencial linear

: <math>z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x) + (1-\alpha)Q(x).</math>

Atëherë kemi: <math>y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}</math> është një zgjidhje e ekuacionit

: <math>y'(x)= P(x)y(x) + Q(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.</math>

Dhe për çdo ekuacion të tillë diferencial, për të gjithë <math>\alpha>0</math> ne kemi <math>y\equiv 0</math> si zgjidhje për <math>y_0=0</math> .

== Shembull ==
Konsideroni ekuacionin e Bernulit

: <math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>

Funksioni i vazhdueshëm <math>y=0</math> është një zgjidhje. Pjesëtimi me <math>y^2</math> jep

: <math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>

Ndryshimi i ndryshoreve sjell ekuacionet

: <math>\begin{align}
u = \frac{1}{y} \; &, ~ u' = \frac{-y'}{y^2} \\
-u' - \frac{2}{x}u &= - x^2 \\
u' + \frac{2}{x}u &= x^2
\end{align}</math>

të cilat mund të zgjidhen duke përdorur faktorin integrues

: <math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{2\ln x} = x^2.</math>

Duke shumëzuar me {{Nowrap|<math>M(x)</math>,}}

: <math>u'x^2 + 2xu = x^4.</math>

Ana e majtë mund të përfaqësohet si [[Derivati|derivat]] i <math>ux^2</math> duke shbërë rregullin e produktit . Zbatimi i rregullit të zinxhirit dhe integrimi i të dyja palëve në lidhje me <math>x</math> rezulton në ekuacione

: <math>\begin{align}
\int \left(ux^2\right)' dx &= \int x^4\,dx \\
ux^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C \\
\frac{1}{y}x^2 &= \frac{1}{5}x^5 + C
\end{align}</math>

Zgjidhja për <math>y</math> është

: <math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.</math>

== Referime ==

* {{Citation |last=Bernoulli |first=Jacob |title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis |work=[[Acta Eruditorum]] |year=1695 |author-link=Jacob Bernoulli}}. Cited in {{Harvard citation text|Hairer|Nørsett|Wanner|1993}}.
* {{Citation |last=Hairer |first=Ernst |title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems |year=1993 |place=Berlin, New York |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-56670-0 |last2=Nørsett |first2=Syvert Paul |last3=Wanner |first3=Gerhard}}.