Ekuacioni diferencial i Bernulit

Në matematikë, një ekuacion diferencial i zakonshëm quhet ekuacion diferencial i Bernulit nëse është i trajtës

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n,$

ku $n$ është një numër real. Ekuacioni u diskutua për herë të parë në një vepër të vitit 1695 nga Jakob Bernuli, pas të cilit është emërtuar. Zgjidhja më e hershme, megjithatë, u ofrua nga Gotfrid Lajbnic, i cili publikoi rezultatin e tij në të njëjtin vit dhe metoda e të cilit është ajo që përdoret ende sot.

Ekuacionet e Bernulit janë speciale pasi janë ekuacione diferenciale jolineare me zgjidhje të njohura të sakta. Një rast i veçantë i dukshëm i ekuacionit të Bernulit është ekuacioni diferencial logjistik .

Shndërrimi në një ekuacion diferencial linear

Kur $n=0$, ekuacioni diferencial është linear . Kur $n=1$, është ekuacioni është i ndashëm. Në këto raste mund të zbatohen teknika standarde për zgjidhjen e ekuacioneve të atyre formave. Për $n\ne 0$ dhe $n\ne 1$, zevendesimi $u=y^{1-n}$ redukton çdo ekuacion të Bernulit në një ekuacion diferencial linear

$\frac{du}{dx}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

Për shembull, në rastin $n=2$, duke bërë zëvendësimin $u=y^{-1}$ në ekuacionin diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x{y}^2$ merret ekuacioni $\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-x$, i cili është një ED linear.

Zgjidhja

Le të jetë $x_0\in (a,b)$ dhe

$\{\begin{array}{cc}z:(a,b)\to (0,\mathrm{\infty }),& \text{if}\alpha \in ℝ\setminus \{1,2\},\\ z:(a,b)\to ℝ\setminus \{0\},& \text{if}\alpha =2,\end{array}$

të jetë një zgjidhje e ekuacionit diferencial linear

$z^{\prime }(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

Atëherë kemi: $y(x):=[z(x){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}$ është një zgjidhje e ekuacionit

$y^{\prime }(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x),y(x_0)=y_0:=[z(x_0){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}.$

Dhe për çdo ekuacion të tillë diferencial, për të gjithë $\alpha >0$ ne kemi $y\equiv 0$ si zgjidhje për $y_0=0$ .

Shembull

Konsideroni ekuacionin e Bernulit

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

Funksioni i vazhdueshëm $y=0$ është një zgjidhje. Pjesëtimi me $y^2$ jep

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

Ndryshimi i ndryshoreve sjell ekuacionet

$\begin{array}{cc}u=\frac{1}{y}& ,u^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}\\ -u^{\prime }-\frac{2}{x}u& =-x^2\\ u^{\prime }+\frac{2}{x}u& =x^2\end{array}$

të cilat mund të zgjidhen duke përdorur faktorin integrues

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=e^{2\ln x}=x^2.$

Duke shumëzuar me Stampa:Nowrap

$u^{\prime }{x}^2+2xu=x^4.$

Ana e majtë mund të përfaqësohet si derivat i $u{x}^2$ duke shbërë rregullin e produktit . Zbatimi i rregullit të zinxhirit dhe integrimi i të dyja palëve në lidhje me $x$ rezulton në ekuacione

$\begin{array}{cc}\int \left(u{x}^2\right)dx& =\int x^{4}dx\\ u{x}^2& =\frac{1}{5}{x}^5+C\\ \frac{1}{y}{x}^2& =\frac{1}{5}{x}^5+C\end{array}$

Zgjidhja për $y$ është

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}.$

Referime

• Stampa:Citation. Cited in Stampa:Harvard citation text.
• Stampa:Citation.